Question

Calcular a integral com a explicação por favor.

$\int\limits \frac{cos x}{sen x^{2} } \, dx$

Obrigado

Answer 1

Olá



$\displaystyle\mathsf{\int \frac{cosx}{sen^2x}dx }$




Resolvendo pelo método de substituição 'udu'


chamaremos senx de 'u'


u = senx


Agora para encontrar o 'du', temos que derivar o u

du = u'


u = senx
du = cosx     <-   integral de tabela


Agora veja que o 'du' resultou exatamente no que temos no numerador. O que significa que não precisamos mais nos preocupar com o cosseno que está no numerador.


Mas note que chamamos seno de 'u', mas temos seno ao quadrado, com isso, o nosso 'u' também tem de estar ao quadrado.


Então no lugar de sen²x nos colocamos o 'u²', e no lugar do cosx, colocamos 'du'.



Substituindo na integral


$\displaystyle\mathsf{\int \frac{du}{u^2} }$



Não há nenhuma propriedade da integral que nos permite resolver essa integral diretamente, então, vamos passar o 'u²' para o numerador, com a seguinte propriedade de potencia:


$\displaystyle\mathsf{ \frac{1}{a^b}~=~a^{-b} }$



Aplicando essa propriedade


$\displaystyle\mathsf{\int u^{-2}du }$


Agora podemos aplicar uma propriedade da integral:

$\displaystyle\boxed{\mathsf{\int x^pdx= \frac{x^{p+1}}{p+1} }}$



Resolvendo a integral


$\displaystyle\mathsf{\int u^{-2}du ~=~ \frac{ u^{-2+1}}{-2+1} }\\\\\\\mathsf{= \frac{u^{-1}}{-1} }\\\\\\\mathsf{=-u^{-1}}$


usando da mesma propriedade da potenciação


$\displaystyle\mathsf{= -\frac{1}{u} +C}$


Mas a nossa variável original foi dada em 'x' e não em 'u',

e como :

u = sen x


$\displaystyle \mathsf{= -\frac{1}{senx}+C }\\\\\\\\ \boxed{\mathsf{\int \frac{cosx}{sen^2x} =-\frac{1}{senx}+C }}$




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