Question

Resolva as inequações:

a) x3 – x2 – 6x > 0;
b) log2 (x3 – x2 – 6x) ≤ 2.

Answer 1

a)
x³ - x² - 6x > 0
x(x² - x - 6) > 0
x(x - 3)(x + 2) > 0
                     __________-2_____0_________3_____
      x            |- - - - - - - - - -|- - - - - -|+++++++++|++++++
   x - 3          |- - - - - - - - - -|- - - - - -|- - - - - - - - -|++++++
  x + 2          |- - - - - - - -- --|+++++ | +++++++++|++++++
x(x+2)(x-3)  |- - - - - -- - -- -|+++++ |- - - - - - - - - |+++++++
S1 ⇒ {x ∈ R /  -2 <  x <  0  ∨ x > 3}

b)
logbs2(x³ - x² -6x) ≤ 2
"enxergando" "2" como um logbs2 ⇒ logbs2 de 2²
se a base "2" > 1
então
x³ - x² - 6x ≤ 4
x³ - x² - 6x - 4 ≤ 0
observando que "-1" é raiz do polinômio
então dividindo
    x³ - x² - 6x - 4  |_x + 1_____
  -x³   -x²                x² - 2x -4
        -2x² - 6x
       +2x² +2x
               -4x - 4
              +4x +4
                   0
resulta na fatoração
(x + 1)(x² - 2x - 4) ≤ 0
achando as raízes de x² - x - 4 = 0
x = _2+-√[(2)² -4(1)(-4)]_
                  2(1)
x = _2+-√20_ ⇒ x = _2 +- 2√5_ ⇒ x = 1 +- √5
             2                        2
x' = 1 + √5
x'' = 1 - √5
calculando a variação de sinal dos fatores da inequação
                              _____1 -√5 ______-1_________________1+√5__
     x  + 1               |- - - - - --|- - - - - -   - -|+++++++++++++++++++|+++++
   x² - 2x - 4          |+++++ +|- - - - - - - - -|- - - - - - - - - - - - - - - - - - |+++++    
  produto fatores  |- - - - - - -+++++++++|- - - - - - - - - - - - - - - - - - |++++++
S2   ⇒ {x ∈ R  /   x ≤ 1 - √5    ∨    -1  ≤  x ≤ 1 + √5}
fazendo a interseção de S1 e S2
 
                                _______-2____1-√5_-1___0________3__  1+√5_
             S1                             ⊕*******|******|****⊕               ⊕******|*****
             S2                  *********|*******|         |*************************|
            S1 ∩ S2                     ⊕*******         |****⊕                ⊕******|
             V = { x ∈ R /  -2 < x ≤ 1 - √5  ∨ -1 ≤ x < 0 ∨  3 < x ≤ 1 + √5}