Question

calcule a área de cada um dos seguintes triângulos

Answer 1

Boa noite!

j)
Calculando primeiramente o valor de um dos catetos, o cateto adjacente ao ângulo de 60 graus:
$\cos 60^{\circ}=\dfrac{x}{12}\\\dfrac{1}{2}=\dfrac{x}{12}\\x=6$

Agora, cálculo da área:
$A=\dfrac{6\cdot 12\cdot\sin 60^{\circ}}{2}=6^2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\A=18\sqrt{3}$

k)
Calculando o lado faltante pela lei dos cossenos:
$\left(2\sqrt{13}\right)^2=6^2+x^2-2\cdot 6\cdot x\cos 60^{\circ}\\52=36+x^2-12x\cdot\dfrac{1}{2}\\x^2-6x-16=0\\x'=8\\x''=-2$

Neste caso, x=8 é a única solução geometricamente viável. Então:
$A=\dfrac{6\cdot 8\cdot\sin 60^{\circ}}{2}=24\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}$

l)
Este aqui sai direto:
$A=\dfrac{16\cdot 18\cdot \sin 45^{\circ}}{2}=72\sqrt{2}$

m)
Aplicando pitágoras podemos encontrar a altura:
$\left(2\sqrt{13}\right)^2=h^2+4^2\\h^2=52-16=36\\h=6$

Agora, de posse da altura, podemos encontrar o cateto do triângulo retângulo da direita:
$10^2=6^2+x^2\\x^2=100-36=64\\x=8$

Então a área:
$A=\dfrac{b\cdot h}{2}=\dfrac{12\cdot 6}{2}=36$

Espero ter ajudado!