No gráfico a seguir tem-sê os gráficos das funções quadráticas f e g.
Determine:
a) as raízes de f;
b) o vértice de f e o de g;
c) o conjunto solução da inequação g(x)<0;
d) o conjunto solução da inequação f(x)>= 0. (menor ou igual a 0).
Agradeço muito a quem puder me ajudar <3.
Respostas
Utilizamos os conhecimentos sobre equações de segundo grau, temos:
a) Sabemos que uma raiz de f é x = 6 e que seu vértice está em x = 1, sabendo que as distâncias entre o vértice e as raízes são iguais, temos que a outra raiz é x = -4.
b) Para encontrar os vértices, devemos encontrar as equações de f e g. As coordenadas do vértice são dadas por:
xv = -b/2a
yv = -Δ/4a
Para f, temos xv = 1, logo:
1 = -b/2a
b = -2a
Como o gráfico de f cruza o eixo y na altura 4, temos c = 4, assim, temos a seguinte equação:
ax² - 2ax + 4 = 0
Substituindo a raiz x = 6, temos:
36a - 12a + 4 = 0
24a= -4
a = -1/6
A função f é:
f(x) = -x²/6 + x/3 + 4
O vértice de f tem coordenadas (1, 25/6):
yv = -((1/3)² - 4.(-1/6).4)/4.(-1/6)
yv = -(1/9 + 16/6)/(-4/6)
yv = (25/9)/(4/6)
yv = 150/36 = 25/6
Para g, temos as raízes x = 1 e x = 4, logo, o x do vértice fica no ponto x = 5/2, assim:
5/2 = -b/2a
b = -5a
Utilizando as raízes, temos:
a(x - 1)(x - 4) = 0
a(x² - 5x + 4) = 0
ax² - 5ax + 4a = 0
Sabemos que g e f são iguais no ponto x = -1, logo, utilizando a equação de f, temos:
f(-1) = -(-1)²/6 + (-1)/3 + 4
f(-1) = -1/6 - 1/3 + 4
f(-1) = -1/2 + 4 = 7/2
Dado g(-1) = 7/2, temos:
7/2 = a(-1)² - 5a(-1) + 4a
7/2 = a + 5a + 4a
7/2 = 10a
a = 7/20
A equação de g é:
g(x) = (7x² - 35x + 28)/20
As coordenadas do vértice de g são (5/2, -3087/5):
yv = -((-35/20)² - 4.(7/20)(28/20))/4(7/20)
yv = -(1225/400 - 784/400)/(28/20)
yv = -(441/400)/(28/20)
yv = -12384/20 = -3087/5
c) O conjunto solução de g(x) < 0 é:
S = {x ∈ R / 1 < x < 4}
d) O conjunto solução de f(x) ≥ 0 é:
S = {x ∈ R / -4 ≤ x ≤ 6}