Question

Um jardineiro tem 800 metros de cerca para circundar um jardim retangular ao lado de um riacho, conforme a figura. Não é preciso colocar cerca ao longo da margem do rio. Quais dimensões devem ser usadas para que a área do jardim seja máxima?

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Answer 1

Veja que podemos escrever:   y+2x=800 ou y = 800-2x

Sabemos que a área é uma função do tipo:

$A(x)=xy \ \ \ \ ou\\ \\ A(x)=x(800-2x)\\ \\ A(x)=800x-2x^2$

Sabemos que a derivada da função nos permite determinar o valor de x em que a área será máxima:

$A'(x)=0\\ \\ A'(x)=800-4x\\ \\ 800-4x=0\\ \\ 4x=800\\ \\ \boxed{x=200 \ m}$

Se x = 200m então y = 400 m que devem ser as dimensões para que a área seja máxima

Answer 2

A área de um retângulo é igual ao produto de suas dimensões. 

Deste modo, a área do retângulo de dimensões $x$ e $y$ é $S=xy~~(i)$.

Além disso, como o jardineiro tem $800~\text{m}$ de cerca para circundar esse jardim e não irá colocar cerca ao longo da margem do rio (lado de medida $y$), temos $2x+y=800$.

A partir dessa última equação podemos escrever:

$2x=800-y~~\Rightarrow~~x=\dfrac{800-y}{2}~~\Rightarrow~~x=400-\dfrac{y}{2}$.

Substituindo em $(i)$:

$S=xy~~\Rightarrow~~S=\left(400-\dfrac{y}{2}\right)\cdot y~~\Rightarrow~~S=400y-\dfrac{y^2}{2}$.

Isto significa que a área do jardim é expressa, em função de $y$, por $400y-\dfrac{y^2}{2}$.

Uma função do segundo grau. Queremos determinar $y$ de modo que, $400y-\dfrac{y^2}{2}$ assuma o maior valor possível.

Este valor de $y$ corresponde ao $x_v=\dfrac{-b}{2a}$. Temos:

$x_v=\dfrac{-400}{2(-\frac{1}{2})}=\dfrac{400}{1}=400$.

Com isso, podemos afirmar que, a expressão $400y-\dfrac{y^2}{2}$ assume seu valor máximo quando $y=400$.

Daí, obtemos $x=\dfrac{800-y}{2}~~\Rightarrow~~x=\dfrac{800-400}{2}~~\Rightarrow~~x=200$.

Portanto, a resposta é $x=200~\text{m}$ e $y=400~\text{m}$.