Question

Usando
decomposição em frações, podemos concunclir que a integral: I=∫x+2/x2-x
dx é igual a

Answer 1

$\int\frac{x+2}{x^2-x} \ dx=\int\frac{x+2}{x(x-1)} \ dx=\int\left(\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}\right) \ dx\\ \\ \frac{x+2}{x(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}\\ \\ x+2=A(x-1)+Bx\\ \\ x+2=Ax-A+Bx\\ \\ x+2=(A+B)x-A\\ \\ A=-2\\ \\ A+B=1\Rightarrow -2+B=1\Rightarrow B=3\\ \\ \int \left(\frac{-2}{x}+\frac{3}{x-1}\right) \ dx$

$\int \left(\frac{-2}{x}+\frac{3}{x-1}\right) \ dx =\\ \\ \int\frac{-2}{x} \ dx+\int \frac{3}{x-1} \ dx=\boxed{-2ln(x) +3ln(x-1) + C}$