Question

6-(Ufpr)- Considere as matrizes a b e c, sabendo que a matriz c e igual a matriz b , calcule o determinate determinante da matriz A.

Answer 1

$B=\left[\begin{array}{ccc}x+y&x+z\\z-y&z-x\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}4&6\\2&4\end{array}\right] =C$

Se duas matrizes são iguais, então seus elementos (que estão na mesma posição) são iguais, por exemplo, o primeiro elemento da primeira linha da matriz B tem que ser igual ao primeiro elemento da primeira linha da matriz C, e assim sucessivamente. Então, temos:

x + y = 4  
x + z = 6
z - y = 2
z - x = 4

A segunda e a quarta matriz têm x e z:

x + z = 6
z - x = 4

Temos duas equações e duas incógnitas (valores desconhecidos: x e z), então podemos resolver o sistema:

Vamos isolar o z na segunda equação:

z - x = 4
z = 4 + x

Certo. Agora vamos substituir esse valor de x na segunda equação:

x + z = 6
x + (4 + x) = 6
x + 4 + x = 6
2x + 4 = 6
2x = 6 - 4
2x = 2
x = 2 : 2
x = 1

Temos o valor de x, podemos encontrar o valor de z. Vamos substituir o x na primeira equação:

x + z = 6
1 + z = 6
z = 6 - 1
z = 5

Agora que temos o valor de z, podemos usá-lo para encontra o valor de y na equação: z - y = 2

z - y = 2
5 - y = 2
- y = 2 - 5
- y = - 3  (multiplicando tudo por -1)
y = 3

Pronto:  x = 1
              y = 3
              z = 5

Agora vamos usar isso para construir a matriz A:

$A = \left[\begin{array}{ccc}x&y&z\\z&y&x\\y&z&x\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&3&5\\5&3&1\\3&5&1\end{array}\right]$

Agora vamos encontrar o determinante de A. Uma forma de fazer isso é repetir a primeira e a segunda coluna para encontrar as três diagonais principais e as três diagonais secundárias:

$\left[\begin{array}{ccc}1&3&5\\5&3&1\\3&5&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1&3\\5&3\\3&5\end{array}\right]$

As diagonais principais são:

1.3.1 = 3
3.1.3 = 9
5.5.5 = 125

As diagonais secundárias são:

3.3.5 = 45
5.1.1 = 5
1.5.3 = 15

Então o Determinante de A fica:

Det (A) = 3 + 9 + 125 - 45 - 5 - 15
Det (A) = 72