Question

x ao cubo menos x igual a 1320

Answer 1

Vou fazer por 2 métodos, um um pouco mais complexo e um simples:

1) Resolução pela fórmula de Cardano - Tartaglia:
    x³ - x = 1320          passando o 1320  para o outro lado:
    x³ - x - 1320 = 0


Essa equação serve para resolver equações do terceiro grau do tipo:
 x³ + My + N = 0  ( sem a variável do segundo grau), com ela podemos achar UMA das raízes (lembre-se que em uma equação do 3º grau há 3 raízes sempre).

Vamos lá:

M = -1
N = -1320
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x = ∛[-n/2 + √(n/2)² + (m/3)³] + ∛[-n/2 - √(n/2)² + (m/3)³] 

Substituindo:

x = ∛[-(-1320)/2 + √((1320/2)² + (-1/3)³)] + ∛[-(-1320)/2 - √((1320/2)² + (-1/3)³)]

Arrumando:

x = ∛[660 + √((660)² + (-1/27))] +  ∛[660 - √((660)² + (-1/27))] 
x = ∛[660 + √(660² - 1/27)] + ∛[660 - √(660² - 1/27)]

Eleva o 660 ao quadrado:

x = ∛[660 + √(435600 - 1/27)] + ∛[660 - √(435600 - 1/27)]

Agora iguale os denominadores de dentro da raiz:

x = ∛[660 + √(435600 - 1/27)] + ∛[660 - √(435600 - 1/27)]
x = ∛[660 + √11761200/27 - 1/27] + ∛[660 - √11761200/27 - 1/27]
 
x = ∛[660 + √11761199/27] + ∛[660 - √11761199/27]

Aqui poderíamos utilizar uma calculadora (de preferência científica e achar a resposta direta como 11, é até preferível, caso queira utilizá-la digite assim:

(660 + √(11761199 : 27))^(1:3) + (660 - √(11761199 : 27))^(1:3)

x1 = 11

Propriedade: se a é raíz do polinômio p(x), então p(x) dividirá por x - a sem deixar resto.

Agora que achamos a primeira raiz (11), basta dividirmos a equação do primeiro grau por x - 11, assim obteremos uma equação do 2º grau e achar as outras duas:

  x³ - x - 1320    lx - 11
- x³ +11x²           x² + 11x + 120 << resultado.
__________
 11x² - x - 1320    
-11x² + 121x 
_____________
 120x - 1320
-120x + 1320
____________
0  << resto 

Então as outras raízes podem ser encontradas através da equação:
x² + 11x + 120 = 0

Δ = b² - 4ac
Δ = (11)² - 4.1.120
Δ = 121 - 480
Δ = -359

x = (-b +/- √Δ)/ 2a
x = (-11 +/- √-359) / 2.1
x = (-11 +/- i√359) /2

x2 = (-11 + i√359 /2) << ou -5,5 + i√359 /2 
x3 = (-11 - i√359 /2) <<  ou -5,5 - i√359 /2

Logo o conjunto solução em C para x³ - x = 1320 é:
S = {-5,5 - i√359 /2 , -5,5 + i√359 /2, 11}, caso a resposta seja apenas nos reais, considere x como 11 apenas.
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Prova real:

p/x = 11
x³ - x = 
11³ - 11 = 
1331 - 11 =
1320      (OK)
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Para facilitar a prova real das outras raízes tenha em mente que:
i√359 /2 = i√(359/4) = i√89,75

* (a + b)³ = a³ + 3.a².b + 3.a.b² + b³

p/ x = -5,5 - i√89,75

(-5,5 - i√89,75)³ - (-5,5 - i√89,75) = 
(-5,5)³ + 3.(-5,5)².(-i√89,75) + 3(-5,5).(-i√89,75)² + (-i√89,75)³ + 5,5 + i√89,75=

-166,375 + 3.(30,25)(-i√89,75) + (-16,5).((-i)²(√89,75)²) + (-i³(√89,75)³) + 5,5 + i√89,75 = 
-166,375 - 90,75i√89,75 + (-16,5).((-1).(89,75)) + (i. 89,75√89,75) + 5.5 + 
i√89,75 = 
-166,375 - 90,75i√89,75 + 1480,875 - 89,75i√89,75 + 5,5 + i√89,75 = 
(- 166,375 + 1480,875 + 5,5 ) + (-90,75i + 89,75i + i)√89,75 = 
(1320) + (0.i)√89,75 = 
1320
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p/ x = -5,5 + i√89,75

(-5,5 + i√89,75)³ - (-5,5 + i√89,75) = 
(-5,5)³ + 3.(-5,5)².(i√89,75) + 3(-5,5).(i√89,75)² + (i√89,75)³ + 5,5 - i√89,75=

-166,375 + 3.(30,25)(i√89,75) + (-16,5).((i)²(√89,75)²) + (i³(√89,75)³) + 5,5 - i√89,75 = 
-166,375 + 90,75i√89,75 + (-16,5).((-1).(89,75)) + (-i. 89,75√89,75) + 5.5 - 
i√89,75 = 
-166,375 + 90,75i√89,75 + 1480,875 - 89,75i√89,75 + 5,5 - i√89,75 = 
(- 166,375 + 1480,875 + 5,5 ) + (90,75i - 89,75i - i)√89,75 = 
(1320) + (0.i)√89,75 = 
1320
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2) Lógica:

X³ - x = 1320            coloque o x em evidência:
x(x² - 1) = 1320        temos que a² - b² = (a+b)(a-b), fatorando então:
x(x+1)(x-1) = 1320   se analisarmos com cuidado percebemos que estamos diante                                      de um  produto de 3 números consecutivos, para facilitar a                         visualização, como a ordem dos termos não altera o produto:

(x-1)(x)(x+1) = 1320   Agora, pensando simples, chegamos a seguinte conclusão,                             basta acharmos 3 números consecutivos cujo produto é 1320.

    Vamos colocar o 1320 em fatores primos:

1320   2
660     2
330     2
165     3
55       5
11       11
1

1320 = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 . 11, agora basta usarmos TODOS esses fatores e montarmos esses 3 números cujo produto resulte em 1320, depois de testar algumas combinações percebemos que esses números são 10 (que veio de 2.5),11 (primo) e 12 (que veio de 2.2.3), 10 . 11 . 12 = 1320

agora basta substituirmos lá encima , como ambos estão em ordem crescente podemos substituir qualquer número desde que sejam respectivos (tipo, posso substituir o 10 se for no x-1, o 11 se for no x, ou o 12 se for no x+1 que vou obter a mesma resposta).

X - 1 = 10X = 11 << resposta. (caso queira as outras raízes terá que dividir o polinômio por x- 11 e obter a eq. do 2º grau como fizemos acima...)
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Bons estudos