Question

No desenvolvimento de (x² + $\frac{2}{x ^{3} }$])¹⁰, com x ≠ 0, determine: a) O número de termos do desenvolvimento. b) O termo que ocupa a posição central. c) O coeficiente do termo em x. d) O termo independente de x

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Srtawalker, que a resolução é simples, pois ela é intuitiva (ou sugestiva).
Note que o desenvolvimento de (x+a)ⁿ, tem o seu desenvolvimento da seguinte forma (chamando-se combinação de "n=10" em "p" partes):

C(n, 0)*xⁿ.a⁰ + C(n, 1)*xⁿ⁻¹.a¹ + C(n, 2)*xⁿ⁻².a² + C(n, 3)*xⁿ⁻³.a³ + ......+ C(n, 9).xⁿ⁻⁹.a⁹ + 10)*xⁿ⁻¹⁰.a¹⁰.

i) Assim, tendo portanto a relação acima como parâmetro, então vamos responder a cada uma das suas questões.

a) Determine o número de termos do desenvolvimento.
Antes de responder, veja que:

(x+a)¹ = x + a <--- 2 termos
(x+a)² = x²+2xa+a² <---- 3 termos.
(x+a)³ = x³+3x²a+3xa²+aa³ <--- 4 termos.
E assim vai. Logo, se tivermos:

(x+a)ⁿ, então o desenvolvimento terá "n+1" termos.

Logo, o desenvolvimento da sua questão, que é: (x² + 2/x³)¹⁰ terá:

11 termos <--- Esta é a resposta para a questão do item "a". Ou seja, como n = 10, então todo o desenvolvimento terá "10+1" = 11 termos".

b) Determine o termo que ocupa a posição central.
Veja que no desenvolvimento começamos com combinação de "n" tomados "0" a "0" e vamos até combinação de "n" tomados "10" a "10". Logo, como teremos 11 termos, então o termo do meio será o 6º termo, que será dado por (note que, no 6º termo, teremos 5 antes e 5 após, pois o total de termos é 11. Logo: 5 + central + 5 = 11 termos). E note que o termo central será dado por: C(₁₀, ₅), pois é este termo que ficará bem no meio da sequência de combinações. Assim, teremos:

C(₁₀, ₅) = 10!/[(10-5)!5!]*(x²)¹⁰⁻⁵.(2/x³)⁵ =
= 10!/[5!.5!]*(x²)⁵.(2/x³)⁵
= 10*9*8*7*6(5!/[5!.5.4.3.2.1]*x¹⁰.32/x¹⁵
= 10*9*8*7*6/[5.4.3.2.1] * 32x¹⁰/x¹⁵
= 30.240/[120]*64x¹⁰⁻¹⁵ ---- como 30.240/120 = 252, teremos:
= 252*32x⁻⁵ ----- como x⁻⁵ = 1/x⁵; e como 252*32 = 8.064, teremos:
= 8.064*1/x⁵ ---- ou apenas:
=  8.064/x⁵ <--- Este será o termo do meio pedido.

c) Determine o coeficiente do termo em "x".

Resposta: Veja que nunca iremos conseguir ter o termo em "x" apenas, pois jamais iremos conseguir ter, no desenvolvimento dado, o o "(x²)ⁿ⁻ᵇ" dividido por (2/x³)ᵇ, tal que a diferença dos expoentes seja "1", para que fiquemos com o termo em "x".
Então, a resposta para o item "c" será:

Não teremos termo em "x" no desenvolvimento da sua questão. <-- Esta é a resposta para o item "c".

c) Determine o termo independente de x.

Note, no desenvolvimento dado, o termo independente de "x" será dado quando (x²)ⁿ⁻ᵇ.(2/x³)ᵇ resultar em que a diferença dos expoentes seja igual a zero. E isso ocorrerá no 4º termo. Veja:

C(₁₀, ₄) = 10!/[10-4)!4!]*(x²)¹⁰⁻⁴.(2/x³)⁴ =
= 10!/[6!4!].(x²)⁶.(2/x³)⁴
= 10.9.8.7.6!/[6!.4.3.2.1.6!].(x¹²)/16/x¹²
= 10.9.8.7/[4.3.2.1].16x¹²/x¹²
= 5.040/[24].16x¹²⁻¹² ---- como 5.040/24 = 210 e x¹²⁻¹² = x⁰ = 1, teremos:
= 210*16*1 = 3.360 <--- Esta é a resposta para o item "d". Ou seja, esta é o valor do termo independente pedido na sua questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.