Question

efetue as seguintes divisões de números complexos :

Answer 1

´Primeiramente, vamos apresentar o conceito de conjugado de um complexo. Se $z=a+bi$ com $a,b\in\mathbb{R}$, definimos o conjugado de z como: $\overline z=a-bi$. Ou seja, o conjugado de um número complexo z é igual a z com o sinal da parte imaginária trocado.

Agora, vamos aplicar esse conceito na questão. Numa fração que apresenta denominador com números complexos, é conveniente que multipliquemos a fração toda (em cima e embaixo) pelo conjugado do denominador. Vejamos nos itens do enunciado:


a) $\dfrac{-10+15i}{2-i}$

O denominador é $2-i$, logo seu conjugado é $2+i$. Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado encontrado:

$\dfrac{-10+15i}{2-i}=\dfrac{-10+15i}{2-i}\times\dfrac{2+i}{2+i}\\\\ \dfrac{-10+15i}{2-i}=\dfrac{(-10+15i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}\\\\ \dfrac{-10+15i}{2-i}=\dfrac{-20-10i+30i+15i^2}{2^2-i^2}\\\\ \dfrac{-10+15i}{2-i}=\dfrac{-20+20i+15(-1)}{4-(-1)}\\\\ \dfrac{-10+15i}{2-i}=\dfrac{-20+20i-15}{4+1}\\\\ \dfrac{-10+15i}{2-i}=\dfrac{-35+20i}{5}\\\\ \boxed{\dfrac{-10+15i}{2-i}=-7+4i}$


b) $\dfrac{1+3i}{1+i}$

O denominador dessa fração é o complexo $1+i$. Seu conjugado, portanto, é $1-i$. Multiplicando a fração em cima e embaixo por esse número:

$\dfrac{1+3i}{1+i}=\dfrac{1+3i}{1+i}\times\dfrac{1-i}{1-i}\\\\ \dfrac{1+3i}{1+i}=\dfrac{(1+3i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}\\\\ \dfrac{1+3i}{1+i}=\dfrac{1-i+3i-3i^2}{1^2-i^2}\\\\ \dfrac{1+3i}{1+i}=\dfrac{1+2i-3(-1)}{1-(-1)}\\\\ \dfrac{1+3i}{1+i}=\dfrac{1+2i+3}{1+1}\\\\ \dfrac{1+3i}{1+i}=\dfrac{4+2i}{2}\\\\ \boxed{\dfrac{1+3i}{1+i}=2+i}$