Question

No desenvolvimento de ($\frac{2x}{3} + y^{2}$)⁸ , segundo potências decrescentes de x, determine:
a) o 8° termo

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Sansincero, que a resolução é simples.
Pede-se o 8º termo segundo as potências decrescentes de "x" no seguinte desenvolvimento: (2x/3 + y²)⁸.

Note que todo o desenvolvimento terá 9 termos, pois desenvolvimentos desse tipo sempre terá n+1 termos. Como "n" é igual a "8", então todo o desenvolvimento terá: 8+1 = 9 termos.

i) Bem, agora vamos ao que a questão pede, que será o 8º termo segundo as potências decrescentes de "x".
Veja que o penúltimo termo, segundo as potências decrescentes de "x" será obtido pela combinação de "8" tomados "7" a "7". Assim, teremos;

C(₈, ₇) = 8!/[8-7)!7!]*(2x/3)⁸⁻⁷.(y²)⁷ =
= 8!/[1!7!]*(2x/3)¹.y¹⁴ =
= 8/[1]*2x/3*y¹⁴ ---- como 8/1 = 8, teremos:
= 8*2xy¹⁴ / 3  ---- como 8*2 = 16, ficaremos, finalmente:
= 16xy¹⁴ / 3 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o valor do 8º termo segundo as potências decrescentes de "x".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.