Question

Dado o binômio( $x^{3} + \frac{p}{x}$)ⁿ , determine os valores de n e p afim de que o termo central ocupe o 6° lugar e seja dado por 8 064x¹⁰.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Samira, que se o desenvolvimento (x³+p/x)ⁿ tem o seu 6º termo como o termo central, então é porque n = 10, pois sendo n = 10 o desenvolvimento terá "n+1" termos e o termo central será o 6º termo, pois as combinações de "n", tomados "p" a "p" ocorrerão da seguinte forma:

C(₁₀, ₀) + C(₁₀, ₁) + C(₁₀, ₂) + C(₁₀, ₃) + C(₁₀, ₄) + C(₁₀, ₅) + C(₁₀, ₆) + C(₁₀, ₇) + C(₁₀, ₈) + C(₁₀, ₉) + C(₁₀, ₁₀).

Como você pode concluir pela sequência acima, nota-se que o termo central é o 6º termo e é o que se refere a: C(₁₀, ₅), pois antes dele há 5 termos e depois dele também há 5 termos.
Então vamos desenvolver C(₁₀, ₅) e igualar a "8.064x¹⁰. Assim teremos (note que já concluímos que n = 10, pelas razões anteriormente vistas. Falta, agora, apenas encontrar o valor de "p"):

10!/[(10-5)!.5!].(x³)¹⁰⁻⁵.(p/x)⁵ = 8.064x¹⁰
= 10!/[5!.5!].(x³)⁵.p⁵/x⁵ = 8.064x¹⁰
= 10.9.8.7.6.5!/[5!.5.4.3.2.1].x¹⁵.p⁵/x⁵ = 8.064x¹⁰
= 10.9.8.7.6/[5.4.3.2.1].p⁵. x¹⁵/x⁵ = 8.064x¹⁰
= 30.240/[120].p⁵ . x¹⁵⁻⁵ = 8.064x¹⁰ --- como 30.240/120 = 252, temos:
= 252p⁵ . x¹⁰ = 8.064x¹⁰ ---- se dividirmos ambos os membros por "x¹⁰", iremos ficar apenas com:

252p⁵ = 8.064 ----- isolando "p⁵", teremos:
p⁵ = 8.064/252 ---- note que esta divisão dá exatamente igual a "32". Logo:
p⁵ = 32
p= ⁵√(32) ---- note que 32 = 2⁵ . Assim:
p = ⁵√(2⁵) ---- como o "2" está elevado à quinta potência, então ele sai de dentro da raiz índice cinco, ficando assim:

p = 2 <--- Este será o valor de "p".

Assim, resumindo, temos que os valores de "n" e de "p" do desenvolvimento da sua questão serão estes:

n = 10; e p = 2 <--- Esta é a resposta. Ou seja, estes são os valores de "n" e de "p" no desenvolvimento (x³ + p/x)ⁿ.

Ops: até que enfim o meu desenvolvimento surgiu novamente, mas já na segunda tentativa. A primeira foi simplesmente perdida.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.