Question

a area do hexagono regular, qual é a expressão que representa a área do hexágono regular? alguém sabe? por favor ;)

Answer 1

Podemos dividir o hexágono regular em 6 triângulos equiláteros. 

Logo a área será: ÁREA = 6 * áreas dos triângulos equiláteros = (6/4) * (raiz de 3) * Lado²

Answer 2

Se você unir as diagonais de um hexágono regular, verá que formará 6 triângulos equiláteros.

A área de um triângulo é dada por 
$A=\dfrac{base\times{altura}}{2}$

Sendo a base do triângulo $a$ como mostra a figura, temos que achar sua altura. 

Observe a figura 2 para entender de onde vem as medidas. 
Para encontrarmos a altura do triângulos devemos lembrar conceitos de ângulos de triangulos e trigonometria, são eles:

A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º.
Em um triângulo equilátero, além de seus lados serem iguais, seus ângulos internos também são.
Desta forma, os ângulos internos de um triângulo equilátero equivalem a $180^{o}\div3=60^{o}$.

Agora que sabemos o ângulo BCA, vamos aos conceitos de trigonometria.
A tangente de um ângulo é dada pela divisão do cateto oposto pelo cateto adjacente. No nosso triângulo, temos como cateto adjacente $\dfrac{a}{2}$ e cateto oposto a nossa altura, $h$.

De acordo com a tabela 3, temos que a tangente de 60º equivale a $\sqrt{3}$. Logo, temos que:
$tan_{60^{o}}=\dfrac{oposto}{adjacente}$
$\sqrt{3}=\dfrac{h}{\frac{a}{2}}$
$h=\sqrt{3}\times\dfrac{a}{2}$
$h=\dfrac{\sqrt{3}a}{2}$

Encontramos o valor da altura. Agora podemos calcular a área do triângulo.
$A=\dfrac{base\times{altura}}{2}$
$A=\dfrac{a\times\dfrac{\sqrt{3}a}{2}}{2}$
$A=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}a^2}{2}}{2}$
$A=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}a^2}{2}}{\dfrac{2}{1}}$
$A=\dfrac{\sqrt{3}a^2}{4}$

Esta é a área de um dos triângulos. Como o hexágono é formado por 6 triângulos, multiplicamos por 6,
$A_{hexagono}=6\times\dfrac{\sqrt{3}a^2}{4}$
$A_{hexagono}=\dfrac{6\sqrt{3}a^2}{4}$
Simplificando,
$A_{hexagono}=\dfrac{3a^{2}\sqrt{3}}{2}$