Question

Uma empresa procura o melhor preço P>0, em euros, para um produto que pretende lançar no mercado mundial. Estudos indicam que, com o preço P, esta empresa conseguirá exportar (40 - P) milhares de unidades.

Como exemplo, se o preço P for fixado em 10 euros, serão exportadas (40-10)=30 milhares de unidades, ou seja, (40-10).1000 = 30.000 unidades.

Como consequência, esta venda gerará um faturamento de 10. 30,000 = 300.000 euros.
(a) Determine o faturamento gerado pela venda do produto quando o preço é de 20 euros.
(b) Determine a expressão do faturamento quando o preço é P.
(c) Para que valor(es) de P o faturamento é de 375.000,00 euros?
(d) Para que valor de P o faturamento é de 400.000,00 euros?
(e) Determine os valores de P para os quais o faturamento é menor ou igual a 400.000,00?
A partir dos valores encontrados, diga qual é o faturamento máximo possível, justificando com o maior cuidado possível!

Answer 1

a) O faturamento é calculado multiplicando o preço do produto pela quantidade vendida. Quando o preço do produtos é 20 euros, temos 20000 unidades vendidas. Assim, o faturamento será:

$20*20000 = 400000$

Portanto, o faturamento será de 400 mil euros.

b) Como visto anteriormente, o faturamento será calculado através a multiplicação entre o preço do produto e a quantidade vendida. Assim, temos:

$F(P)=P(40-P)\\ F(P)=40P-P^{2}$

c) Substituindo F(P) = 375, temos:

$375 = 40P - P^{2}\\ P^{2} - 40P + 375 = 0$

Com isso, formamos uma equação do segundo grau, que possui as seguintes raízes:

$\left \{ {{x_{1}=25} \atop {x_{2}=15}} \right.$

Portanto, existirá um faturamento de 375 mil quando o preço for 15 ou 25 euros.

d) Substituindo F(P) = 400, temos:

$400 = 40P - P^{2}\\ P^{2} - 40P + 400 = 0$

Com isso, formamos uma equação do segundo grau, que possui as seguintes raízes:

$\left \{ {{x_{1}=20} \atop {x_{2}=20}} \right.$

Portanto, existirá um faturamento de 400 mil quando o preço for 20 euros.

e) Primeiramente, vamos calcular o preço para que exista faturamento máximo, derivando a função e igualando a zero:

$F(P)=40p-P^{2}\\ F'(P)=40-2P\\ 40-2P=0\\ P=20$

Logo, o faturamento é máximo quando temos o preço de 20 euros. Assim, esse faturamento será:

$F(20)=40*20-20^{2}\\ F(20)=400$

O faturamento para o preço de 20 euros é 400 mil, que é o faturamento máximo. Assim, para qualquer preço diferente de 20 euros, o faturamento obtido será menor que 400 mil euros.