Question

Determine quatro números em p.a sabendo que sua soma é 26 e que a soma de seus quadrados é 214

Answer 1

Para facilitar nossa vida, podemos tratar uma PA de 4 termos como:
(x - 3r),(x - r),(x + r),(x + 3r)

Então temos que:

(x - 3r) + (x - r) + (x + r) + (x + 3r) = 26
x - 3r + x - r + x + r + x + r = 26
4x = 26
x = 26/4
x = 13/2 ou 6,5.

Agora vamos achar a razão:
(x - 3r)² + (x - r)² + (x + r)² + (x + 3r)² = 214      

 resolvendo os produtos notáveis:

(x² - 6xr + 9r²) + (x² - 2xr + r²) + (x² + 2xr + r²) + (x² + 6xr + 9r²) = 214
x² - 6xr + 9r² + x² - 2xr + r² + x² + 2xr + r² + x² + 6xr + 9r² = 214

Anulando os opostos: 
x² + 9r² + x² + r² + x² + r² + x² + 9r² = 214        juntando os iguais:
4x² + 20r² = 214             simplifica por 2
2x² + 10r² = 107            substitua o valor de x :

2.(6,5)² + 10r² = 107
2.(42,25) + 10r² = 107
84,5 + 10r² = 107
10r² = 107 - 84,5
10r² = 22,5
r² = 2,25
r = +/- √2,25
r = +/- 1,5

r1 = 1,5  , r2 = -1,5

Como percebemos, obtivemos duas razões, então, devemos montar duas PA's, uma para cada razão:

p/ r = 1,5

(x - 3r),(x - r),(x + r),(x + 3r)                     substitua:
(6,5 - 3.(1,5)), (6,5 - 1,5) , (6,5 + 1,5) , (6,5 + 3 .(1,5)) 
(6,5 - 4,5) , 5 , 8 , (6,5 + 4,5) 
2, 5 , 8 , 11        << PA crescente de razão +3.

p/ r = -1,5

(x - 3r),(x - r),(x + r),(x + 3r)                     substitua:
(6,5 - 3.(-1,5)), (6,5 - (-1,5)) , (6,5 - 1,5) , (6,5 + 3 .(-1,5)) 
(6,5 + 4,5) , 8 , 5 , (6,5 - 4,5) 
11, 8 , 5 , 2        << PA decrescente de razão -3.

Em todo caso formamos duas sequências:
(2,5,8,11) e (11,8,5,2), como o exercício pede apenas 4 números em PA, os números são 2,5,8 e 11.

Bons estudos

Answer 2

Resposta:

-15

Explicação passo-a-passo: