Question

utilizando o teorema binomial desenvolva com x>0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, David, que temos a seguinte expressão, que vamos igualar a um certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

i)

y = [√x + 1/√x)]⁴ * [√x - 1/√x]⁴ ---- note que as expressões estão, ambas, elevadas à 4ª potência, então poderemos fazer assim, o que é a mesma coisa:

y = [(√x + 1/√x)*(√x - 1/√x)]⁴ ---- agora note que dentro dos colchetes temos o produto da soma pela diferença entre dois fatores do tipo:
(a+b)*(a-b) = (a² - b²) . Então, fazendo isso, iremos ter:

y = [√x*√x - 1/√x*1/√x]⁴ ----- desenvolvendo, teremos:
y = [√x² - 1/√x²]⁴
y = [x - 1/x]⁴  --- ou, o que é a mesma coisa:
y = (x - 1/x)⁴     . (I)

ii) Note que até aqui trabalhamos apenas para deixar o binômio na sua forma mais simples possível (daí o nome: simplificação de uma expressão). E chegamos à forma mais simplificada possível, que é a expressão (I) acima.
Agora vamos utilizar o teorema binomial pedido.

iii) Veja que, como o binômio está elevado à 4ª potência, iremos ter 5 termos quando desenvolvermos a expressão acima. E cada termo será obtido pela utilização de combinação de "n" tomados "p" a "p".
No caso n = 4 e p = 0, 1, 2, 3 e 4. Ou seja, tomaremos a combinação de "4" tomados "0" a "0" + combinação de "4" tomados "1" a "1" + combinação de "4" tomados "2" a "2" + combinação de "4", tomados "3" a "3" + combinação de "4", tomados "4" a "4", da seguinte forma:

y = C(₄, ₀)*[x⁴⁻⁰.(-1/x)⁰] + C(₄, ₁)*[x⁴⁻¹.(1/x)¹] + C(₄, ₂)*[x⁴⁻².(-1/x)²] + C(₄, ₃)*[x⁴⁻³.(-1/x)³ + C(₄, ₄)*[x⁴⁻⁴.(-1/x)⁴ ----- desenvolvendo, teremos:

y = 4!/(4-0)!0!*[x⁴.(-1/x)⁰ + 4!/(4-1)!.1!.*[x³.(-1/x)¹] + 4!/(4-2)!.2!*[x². (-1/x)² + 4!/(4-3)!3!*[x¹.(-1/x)³] + 4!/(4-4)!.4!*[x⁰ - (-1/x)⁴---- continuando o desenvolvimento:

y = 4!/4!.0!*[x⁴.1] + 4!/3!.1!*[x³*(-1/x)] + 4!/2!.2!*[x².(1/x²)] + 4!/1!3!*[x¹.(-1/x)³ + 4!/0!.4!*[x⁰.(-1/x)⁴ ----- continuando o desenvolvimento:

y = 1*[x⁴] + 4*[-x³/x¹] + 6*[x²/x²] + 4*[-x¹/x³] + 1*[1/x⁴] ---- continuando:
y = x⁴ - 4x³⁻¹ + 6*1 - 4x¹⁻³ + 1/x⁴ --- continuando,teremos:
y = x⁴ - 4x² + 6 - 4x⁻² + 1/x⁴ --- sabendo que x⁻² = 1/x², teremos:
y = x⁴ - 4x² + 6 - 4*1/x² + 1/x⁴ ---- com o que ficaremos, finalmente:
y = x⁴ - 4x² + 6 - 4/x² + 1/x⁴ <---- Este é o desenvolvimento pedido.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.