Question

A integral de linha ∫c (x+yz) dx+2xdy+xyz dz, em que c e a curva dada pelas equações: x=1-t², y=3t+1 e z=1com 0 ≤ t ≤ 1, vale:

Answer 1

Caso esteja pelo app, e tenha problemas para visualizar esta resposta, experimente abrir pelo navegador:  https://brainly.com.br/tarefa/11563308

——————————

Queremos calcular a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva no espaço  ℝ³.

     $\displaystyle\int_C \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}\\\\\\ =\int_C (x+yz)\,dx+2x\,dy+xyz\,dz$


O campo vetorial em questão é

     $\overrightarrow{F}(x,\,y,\,z)=P(x,\,y,\,z)\overrightarrow{i}+Q(x,\,y,\,z)\overrightarrow{j}+R(x,\,y,\,z)\overrightarrow{k}\\\\ \overrightarrow{F}(x,\,y,\,z)=(x+yz)\overrightarrow{i}+2x\overrightarrow{j}+xyz\overrightarrow{k}$


sendo as suas componentes as funções reais de três variáveis

     $\left\{\begin{matrix} P(x,\,y,\,z)&=&x+yz\\\\ Q(x,\,y,\,z)&=&2x\\\\ R(x,\,y,\,z)&=&xyz \end{matrix}\right.$


A curva sobre a qual calcularemos a integral de linha é a curva  C,  parametrizada da seguinte forma:

     $C:~~\left\begin{Bmatrix}x(t)&=&1-t^2\\\\ y(t)&=&3t+1\\\\ z(t)&=&1 \end{matrix}\right.\qquad\qquad 0\le t\le 1.$

—————

Encontrando o vetor tangente à curva  C.  Aqui, basta derivar as componentes de  C  em relação a  t:

     $C'(t)=\left\langle x'(t),\,y'(t),\,z'(t)\right\rangle\\\\ C'(t)=\left\langle \frac{d}{dt}(1-t^2),\,\frac{d}{dt}(3t+1),\,\frac{d}{dt}(1)\right\rangle\\\\ C'(t)=\left\langle -2t,\,3,\,0\right\rangle$


Para computamos a integral, escrevemos produto escalar entre o campo  $\overrightarrow{F}$  e o vetor tangente  C'(t),  substituindo as variáveis  x, y, z  do campo pelas equações da curva parametrizada. Assim, a integral fica

     $\displaystyle\int_C \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}\\\\\\ =\int_0^1\overrightarrow{F}\big(x(t),\,y(t),\,z(t)\big) \cdot C'(t)\,dt\\\\\\=\int_0^1\left\langle x+yz,\,2x,\,1\right\rangle \cdot \left\langle -2t,\,3,\,0\right\rangle\,dt\\\\\\=\int_0^1\left\langle (1-t^2)+(3t+1)\cdot 1,\,2(1-t^2),\,1\right\rangle \cdot \left\langle -2t,\,3,\,0\right\rangle\,dt\\\\\\=\int_0^1\left\langle 1-t^2+3t+1,\,2-2t^2,\,1\right\rangle \cdot \left\langle -2t,\,3,\,0\right\rangle\,dt\\\\\\=\int_0^1\left\langle -t^2+3t+2,\,2-2t^2,\,1\right\rangle \cdot \left\langle -2t,\,3,\,0\right\rangle\,dt$


Expanda o produto escalar, multiplicando as coordenadas correspondentes e somando os produtos. E a integral acima fica

     $=\displaystyle\int_0^1\big[(-t^2+3t+2)\cdot (-2t)+(2-2t^2)\cdot 3+1\cdot 0\big]dt\\\\\\ =\int_0^1\big[(2t^3-6t^2-4t)+(6-6t^2)+0\big]dt\\\\\\ =\int_0^1\big[2t^3-12t^2-4t+6\big]dt$

     $=\left[\dfrac{2t^4}{4}-\dfrac{12t^3}{3}-\dfrac{4t^2}{2}+6t\right]_0^1\\\\\\ =\left[\dfrac{2\cdot 1^4}{4}-\dfrac{12\cdot 1^3}{3}-\dfrac{4\cdot 1^2}{2}+6\cdot 1\right]-\left[\dfrac{2\cdot 0^4}{4}-\dfrac{12\cdot 0^3}{3}-\dfrac{4\cdot 0^2}{2}+6\cdot 0\right]\\\\\\ =\left[\dfrac{2}{4}-\dfrac{12}{3}-\dfrac{4}{2}+6\right]-0\\\\\\ =\left[\dfrac{6}{12}-\dfrac{48}{12}-\dfrac{24}{12}+\dfrac{72}{12}\right]-0\\\\\\ =\dfrac{6-48-24+72}{12}\\\\\\ =\dfrac{6}{12}\begin{array}{l}^{\div 6}\\^{\div 6} \end{array}$

     $=\dfrac{1}{2}$    <————    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)