Question

HELP! I NEED SOMEBODY, HELP!
Os ângulos α,β,ω que o vetor não nulo
u= < x,y,z > faz respectivamente, com os vetores i,j,k são
chamados ângulos diretores de u. mostre que: cos²α + cos²β + cos² ω = 1

Answer 1

o angulo entre dois vetores é dado por
$\boxed{\boxed{cos(\theta) = \frac{U*V}{|U|*|V|} }}$

U*V = produto escalar entre os vetores

logo o produto escalar entre os vetores tambem pode ser escrito como
$\boxed{\boxed{U*V = |U|*|V|*cos(\theta)}}$

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as componentes do vetor U são (x;y;z)
então 
o vetor $\boxed{\vec U = xi + yj + zk}$

xi é a componente do vetor na direção i
yj é a componente do vetor na direção j
zk é a componente do vetor na direção k

$|i| = \sqrt{i^2}=i$
o produto escalar entre o vetor U e i 
vai te dar a projeção do vetor U na direção i
temos
$xi= U*i = |U|* i*cos(\ \alpha )\\\\ \boxed{ \boxed{x \vec i=|U|*cos( \alpha )}}$

aplicando para j e K  o processo se repete tendo
$\boxed{\boxed{y\vec j =|U|*cos( \beta )}}\\\\\\ \boxed{\boxed{z \vec k=|U|*cos(\omega)}}$


mas como
$\vec U = (x\vec i + y \vec j +z \vec k ) \\\\ |\vec U |\to \sqrt{(x\vec i )^2+( y \vec j )^2+ (z \vec k)^2} \\\\\ \\ \boxed{|\vec U|^2 = (x\vec i )^2+( y \vec j )^2+ (z \vec k)^2}$

o módulo do vetor U ao quadrado é igual o quadrado das componentes do vetor U

elevando as componentes do vetor U ao quadrado temos 

$\boxed{\boxed{(x\vec j)^2 =|U|^2*cos^2( \alpha )}}\\\\\\\boxed{\boxed{(y\vec j)^2 =|U|^2*cos^2( \beta )}}\\\\\\ \boxed{\boxed{(z \vec k)^2=|U|^2*cos^2(\omega)}}$

somando elas vc tem o |U|² ...
quando vc for somar vai ter |U|² em todos os termos então ja pode colocar em evidencia
ficando
$|\vec U|^2 = |U|^2 *[cos^2( \alpha )+cos^2( \beta )+cos^2( \omega )]\\\\\ |U|^2 = |U|^2 *[cos^2( \alpha )+cos^2( \beta )+cos^2( \omega )]\\\\ \frac{|U|^2 }{|U|^2 }= cos^2( \alpha )+cos^2( \beta )+cos^2( \omega )\\\\\\\boxed{\boxed{1=cos^2( \alpha )+cos^2( \beta )+cos^2( \omega )}}$