Question

a soma do número de lados com o número de  diagonais de um polígono é igual a 21. Qual o número de lados desse polígono?

Answer 1

$n+D=21$

n: quantidade de lados do polígono.
D: quantidade de diagonais do polígono.

Fórmula da quantidade de diagonais do polígono:
$D= \frac{n(n-3)}{2}$

Então temos que D é igual a n(n-3)/2 , portanto podemos substituir na informação dada pela questão:

$n+D=21 \\ \\ n+ \frac{n(n-3)}{2} =21$

Agora efetuamos o cálculo para assim descobrir quantos lados esse polígono tem.

$n+ \frac{n(n-3)}{2}=21 \\ \\ 2n+n(n-3)=42 \\ \\ 2n+n^2-3n=42 \\ \\ n^2-n=42 \\ \\ n^2-n-42=0 \\ \\ \Delta=169 \\ \\ n'=7 \\ \\ n''=-6$

n'' = -6, não satisfaz a condição de existência. Portanto esse polígono possui 7 lados.
Agora que sabemos a quantidade de lados do polígono, podemos também determinar a quantidade de diagonais. Apesar da questão não exigir, porém, para confirmar se a quantidade de lados está condizente.

$D= \frac{n(n-3)}{2} \\ \\ D= \frac{7(7-3)}{2} \\ \\ D= \frac{7(4)}{2} \\ \\ D= \frac{28}{2} \\ \\ D=14$

A quantidade de diagonais desse polígono é 14, o que satisfaz a condição dada pela questão, "A soma do número de lados com o número de diagonais de um polígono é igual a 21".