Question

Prove por indução matemática a seguinte proposição:
(a) p(n): 1 + 3 + 6 + ... + n(n+1)/2 = n(n+1)(n+2)/6

Alguém poderia ser didático? Não quero só a resposta, tenho interesse em entender como é feito.

Answer 1

Olá!

Façamos uma indução em n.

PASSO BASE: a fórmula é verdadeira para $\mathrm{n = 1}$

Verifiquemos:

$\\ \displaystyle \mathsf{\frac{n(n + 1)}{2} = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}} \\\\\\ \mathsf{\frac{1 \cdot 2}{2} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6}} \\\\\\ \mathsf{1 = 1 \qquad (V)}$


PASSO INDUTIVO: se a fórmula é verdadeira para $\mathrm{n = k}$, então é verdadeira para $\mathrm{n = k + 1}$; segundo o Princípio da Indução Finita.

- Hipótese de indução:

$\displaystyle \mathsf{1 + 3 + 6 + ... + \frac{k(k + 1)}{2} = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{6}}$

- Devemos mostrar que:

$\\ \displaystyle \mathsf{1 + 3 + 6 + ... + \frac{k(k + 1)}{2} + \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} = \frac{(k + 1)[(k + 1) + 1][(k + 1) + 2]}{6}} \\\\\\ \mathsf{1 + 3 + 6 + ... + \frac{k(k + 1)}{2} + \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} = \frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{6}}$


 Segue,

$\\ \displaystyle \underbrace{\mathsf{1 + 3 + 6 + ... + \frac{k(k + 1)}{2}}}_{\mathsf{hip\acute{o}tese \ indutiva}} + \mathsf{\frac{(k + 1)(k + 2)}{2} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{k(k + 1)(k + 2)}{6} + \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{k(k + 1)(k + 2) + 3(k + 1)(k + 2)}{6} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{(k + 1)(k + 2) \cdot \left [ k + 3 \right ]}{6} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{6}} \\\\\\ \blacksquare$

 Que é o que queríamos demonstrar!


Guto, a ideia da indução é a seguinte: você tem uma fórmula e deve verificar se ele é verdadeira para um elemento mínimo (geralmente, é o UM), por conseguinte, você deve verificar se a fórmula é verdadeira para o segundo menor elemento, depois pelo terceiro menor e assim sucessivamente. Num determinado momento, depois de cansar de testar diversos valores acabamos acreditando que a fórmula é verdadeira para todos os números, mas verificações sucessivas não são consideradas como prova...

Assim, fazemos uso do PIF que é uma generalização; nele você considera (por hipótese) que a fórmula é verdadeira para um determinado número (k) e também é verdadeira (tese) para o número seguinte (k + 1). Foi isso que fiz acima!

 Espero ter sido claro, caso contrário, comente qualquer dúvida!

Att,

Daniel.