Question

encontre o maximo e minimo f(x)= x3 - 3x2 + 3x +1

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Roberto, que a resolução é mais ou menos simples.
Pede-se para encontrar os pontos máximos e mínimos da seguinte função:

f(x) = x³ - 3x² + 3x + 1      . (I)

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Para encontrar os pontos críticos de uma função deveremos primeiro encontrar qual é a derivada dessa função, pois os pontos críticos serão dados pelas raízes da função derivada.
Então vamos tomar a expressão (I) acima e vamos derivá-la, ficando assim:

f'(x) = 3x² - 6x + 3 ---- agora vamos encontrar quais são as raízes dessa função. Para isso, vamos igualar f'(x) a zero. Assim, teremos:

3x² - 6x + 3 = 0 ---- se você aplicar Bháskara vai encontrar as seguintes raízes:

x' = x'' = 1

Então em x = 1 teremos um ponto crítico que tanto poderá ser um máximo ,como poderá ser um mínimo, como poderá ser um mero ponto de inflexão.
Vamos ver qual será o valor de f(x), quando "x" for igual a "1". Para isso, iremos na expressão original, que é a expressão (I) e que é esta:

f(x) = x³ - 3x² + 3x + 1 ---- substituindo "x" por "1", teremos:
f(1) = 1³ - 3*1² + 3*1 + 1
f(1) = 1 - 3 + 3 + 1
f(1) = 2.

Então no ponto de x = 1 e f(x) = 2 teremos um ponto crítico. Ou seja, o ponto em que há um ponto crítico será no ponto: (1; 2).

ii) Ainda não sabemos que ponto crítico será esse. Então vamos na derivada segunda e veremos quais serão suas raízes. Note que a derivada segunda só dá pontos de inflexão. Então vamos encontrar as raízes da derivada segunda só porque queremos saber se o ponto crítico encontrado encontrando as raízes da derivada primeira serão os mesmos quando encontrarmos as raízes da derivada segunda. A derivada segunda será esta (basta derivar a derivada primeira e encontraremos a derivada segunda). Assim:

f''(x) = 6x - 6 ---- Esta é a derivada segunda da expressão (I). Assim, igualando a derivada segunda a zero para encontrar suas raízes, teremos;

6x - 6 = 0
6x = 6
x = 6/6
x = 1 <--- Note que encontramos que a raiz da derivada segunda também é igual a "1". E, quando substituirmos "x" por "1" na expressão original, vamos encontrar, também, que f(x) = 2. Ou seja, o ponto será o mesmo: (1; 2).

iii) Ora, como a derivada segunda só dá pontos de inflexão e vemos que a raiz da derivada segunda é igual às raízes da derivada primeira, então somos forçados a informar que o gráfico da função f(x) = x³ - 3x² + 3x + 1 só tem um ponto de inflexão, não tendo ponto de máximo nem de mínimo, ou seja:

no ponto (1; 2) temos um ponto de inflexão <--- Esta é a resposta.

Para você ter uma ideia melhor, veja o gráfico da função da sua questão e comprove tudo o que dissemos sobre esta função. Como aqui no Brainly eu não sei como construir gráficos, então veja o gráfico dessa função no endereço abaixo:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=inflexion+points+f(x)+%3D+x%C2%B3+-+3x%C2%B2+%2B+3x+%2B+1

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

A função f(x) = x³ - 3x² + 3x + 1 não possui ponto de máximo nem ponto de mínimo.

Primeiramente, vamos derivar a função f(x) = x³ - 3x² + 3x + 1:

f'(x) = 3x² - 6x + 3.

Agora, precisamos fazer f'(x) = 0, ou seja, 3x² - 6x + 3 = 0.

Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = (-6)² - 4.3.3

Δ = 36 - 36

Δ = 0

x = 6/2.3

x = 6/6

x = 1.

Logo, x = 1 é o ponto crítico da função f.

Agora, devemos analisar o intervalo onde f'(x) > 0 e f'(x) < 0.

Veja que:

f'(x) > 0 ⇔ x < 1 ou x > 1;

Não existe intervalo no qual f'(x) < 0.

Portanto, podemos afirmar que a função f não possui ponto de máximo nem ponto de mínimo.

O gráfico abaixo é da função f(x) = x³ - 3x² + 3x + 1. Note que o ponto (1,2) indica a troca de concavidade.

Para mais informações sobre derivada: https://brainly.com.br/tarefa/18277111