Question

Qual das equações abaixo representa uma circunferência cujo centro está sobre a reta y = 2x e que, também, passa pelos pontos A = (1, 1) e B = (4, -2)?

a) x²+y²-2x-4y+4=0
b)x²+y²-8x-2y+8=0
c)  x²+y²-14x-8y+20=0
d) x²+y²-2x+4y-4=0
e) x²+y²+6x+12y-20=0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Dani, como prometido, vamos tentar responder a sua questão. Embora a resolução seja mais ou menos simples, mas dá um certo trabalho.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se que uma circunferência passa nos pontos A(1; 1) e B(4; -2), e cujo centro está na reta de equação y = 2x.
Antes de iniciar, vale a pena lembrar que uma circunferência que tenha centro em C(x₀; y₀) e raio = r , terá a sua equação reduzida encontrada da seguinte forma:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²      . (I)

Vamos deixar "guardada" a expressão (I) acima, pois daqui a pouco iremos precisar dela.

ii) Bem, vamos encontrar o centro da circunferência da sua questão. Inicialmente, vamos chamá-lo de C(x; y). Mas veja que o centro está sobre a reta de equação y = 2x. Então, no lugar de "y", colocaremos "2x". Assim, o centro da circunferência da sua questão ficará sendo este:

C(x; 2x) <--- Este é o centro da circunferência da sua questão.

iii) Agora veja: como a circunferência passa nos pontos A(1; 1) e B(4; -2), então a distância entre o centro C(x; 2x) a cada ponto A(1; 1) e B(4; -2) será o raio da circunferência. Então vamos calculá-lo:

iii.a) Distância de A(1; 1) a C(x; 2x):

r² = (x-1)² + (2x-1)²
r² = x²-2x+1 + 4x²-4x+1 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
r² = 5x² - 6x + 2       . (II)

iii.b) Distância de B(4; -2) a C(x; 2x):

r² = (x-4)² + (2x-(-2))²
r² = (x-4)² + (2x+2)²
r² = x²-8x+16 + 4x²+8x+4 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
r² = 5x² + 20     . (III)

iv) Agora vamos igualar as expressões (II) e (III), pois ambas são iguais a r². Então fazendo isso, teremos:

5x² - 6x + 2  = 5x² + 20 ---- passando "5x²" para o 1º membro e passando "2" para o 2º, ficaremos com:

5x² - 6x - 5x² = 20 - 2 --- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos com:
-6x = 18 ---- multiplicando ambos os membros por "-1", teremos:
6x = - 18
x = - 18/6
x = - 3 <--- Esta é a abscissa do centro C(x; 2x).

Ora, mas como x = -3 , então a ordenada, que é "2x", será 2*(-3) = -6.
Assim, o centro da circunferência da sua questão será este:

C(-3; -6) <--- Este será o centro da circunferência da sua questão.

v) Agora vamos calcular a medida do raio (r). Para isso, basta que substituamos em quaisquer uma das expressões [ou na (II) ou na (III)] o valor de "x" por "-3". Vamos na expressão (III), que é esta:

r² = 5x² + 20 ---- substituindo-se "x" por "-3", teremos:
r² = 5*(-3)² + 20
r² = 5*9 + 20
r² = 45 + 20
r² = 65 <---- Este é o valor do raio ao quadrado.

vi) Agora veja que já temos o centro e temos o raio ao quadrado da circunferência da sua questão e que são, respectivamente: C(-3; -6) e r² = 65.
Então vamos aplicar a expressão (I), que deixamos "guardada" logo no início (lembra?), que é utilizada para encontrarmos a equação reduzida de uma circunferência, quando já se dispõe do centro C(x₀; y₀) e do raio = r. A expressão (I) é esta:

(x-x₀)² +  (y-y₀)² = r²

Portanto, tendo a expressão acima como parâmetro, então a circunferência que tem centro em C(-3; -6) e tem raio = √65 (pois se r² = 65, então é porque r = √65, concorda?), terá a sua equação reduzida encontrada da seguinte forma:

(x-(-3))² + (y-(-6))² = 65 <--- Note que 65 = r².
(x+3)² + (y+6)² = 65 ----- desenvolvendo, teremos:
x²+6x+9 + y²+12y+36 = 65 ---- ordenando e reduzindo os termos semelhantes, teremos;

x² + y² + 6x + 12y + 45 = 65 ----- passando "65" para o 1º membro, teremos:
x² + y² + 6x + 12y + 45 - 65 = 0
x² + y² + 6x + 12y - 20 = 0 <--- Esta é a resposta. Opção "e". Ou seja, esta é a equação geral da circunferência da sua questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.