Question

     Como obter uma função do 2º grau, sabendo que o vértice da parabola é V(13,30), e que o f(8) = 20 e o f(18) = 20

Answer 1

Seja $f(x)=ax^2+bx+c$ essa função quadrática. 

Pelo enunciado, $V(13,30)$. Assim:

$\dfrac{-b}{2a}=13~~\Rightarrow~~-b=26a~~\Rightarrow~~b=-26a$.

$\dfrac{-\Delta}{4a}=30~~\Rightarrrow~~-b^2+4ac=120a$

Lembrando que, $b=-26a$:

$-(-26a)^2+4ac=120a~~\Rightarrow~~-676a^2+4ac=120a~~(i)$.

Além disso, sabemos que, $f(8)=20$:

$64a+8b+c=20$. Substituindo $b$ por $-26a$:

$64a+8\cdot(-26a)+c=20~~\Rightarrow~~64a-208a+c=20~~\Rightarrow~~c=20+144a$.

Substituindo em $(i)$:

$-676a^2+4a\cdot(20+144a)=120a$

$-676a^2+80a+576a^2-120a=0$

$-100a^2-40a=0$

$5a^2+2a=0~~\Rightarrow~~a(5a+2)=0$

Daí, $a=-\dfrac{2}{5}$. Assim, $b=-26\cdot\left(-\dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{52}{5}$.

$c=20+144\cdot\left(-\dfrac{2}{5}\right)=20-\dfrac{288}{5}=-\dfrac{188}{5}$

$f(x)=-\dfrac{2}{5}x^2+\dfrac{52}{5}x-\dfrac{188}{5}$