Question

Calcule o seguinte limite:

Answer 1

Boa noite

Vejamos que :

$\frac{ \sqrt{x+2}- \sqrt{2} }{x} = \frac{ [\sqrt{x+2}- \sqrt{2}][ \sqrt{x+2}+ \sqrt{2}] }{x[\sqrt{x+2}+ \sqrt{2}] } \\ \\ \frac{ [ \sqrt{x+2} ]^{2}- [\sqrt{2}] ^{2} \ }{x[\sqrt{x+2}+ \sqrt{2}] } = \frac{x+2-2}{ {x[\sqrt{x+2}+ \sqrt{2}] } } \\ \\ \frac{x}{x[\sqrt{x+2}+ \sqrt{2}] } = \frac{1}{\sqrt{x+2}+ \sqrt{2} }$

trocando x por zero no limite dado chegamos a uma indeterminação

vamos então fazer uma substituição :

$\lim_{x \to \ 0 } \frac{ \sqrt{x+2}- \sqrt{2} }{x} = \lim_{x \to \ 0} \frac{1}{ \sqrt{x+2}+ \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{0+2}+ \sqrt{2} } = \\ \\ \frac{1}{ \sqrt{2}+ \sqrt{2} } = \frac{1}{2 \sqrt{2} } = \frac{1}{2 \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2 \sqrt{2} \sqrt{2} }= \frac{ \sqrt{2} }{4}$