Question

Seja o triângulo de vértices A (1, 2, 5), B (–1, 0, 3) e C (1, 1, 2), determinar o ângulo interno ao vértice A.

Answer 1

Boa tarde

os lados 

AB² = (1 +  1)² + 2² + (5  - 3)²
AB² = 4 + 4 + 4 = 12 
AB = 2√3

AC² = 0² + 1² + 3² = 1 + 9 = 10
AC  = √10 

Area

seja os pontos A (1, 2, 5), B (–1, 0, 3) , C (1, 1, 2)

vetor  BA = (2, 2, 2)
vetor  CA = (0, 1, 3)

produto vetorial BA x CA
 
 i       j      k       i       j 
 2     2     2       2      2   
 0     1     3       0      1  

6i + 2k - 2i - 6j = (4, -6, 2)

|BAxCA| = √4² + 6² + 2² = √(16 + 36 + 4) = √56 = √(4*14) = 2√14

área A = 2√14/2 = √14 

ângulo interno ao vértice A

AB * AC * sen(A)/2 = √14
2√3 *  √10 * sen(A) / 2 =  √14
√30 sen(A) =  √14
sen(A) =  √(14/30) = √(7/15) 

A = 0.75204 rad
A = 43°