Question

Determinar o ângulo entre os planos:
Pi1: x+2y+z-10=0
Pi2: 2x+y-z+1=0

Answer 1

Equação geral do plano:

$\mathsf{ax+by+cz+d=0}$


Sabemos que o vetor normal do plano é:

     $\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{n}}=(a,b,c)}$


Logo, para o plano 1:

     $\mathsf{\pi1=x+2y+z-10=0}$

     $\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{n_{1}}}=(1,2,1)}$


Para o plano 2:

     $\mathsf{\pi2=2x+y-z+1=0}$

     $\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{n_{1}}}=(2,1,-1)}$


Sabendo as normais podemos encontrar o ângulo entre elas, que é igual ao ângulo entre os planos

     $\mathsf{cos\ \theta=\dfrac{|{\overrightarrow{{\mathsf{n_{1}}}}\cdot \overrightarrow{\mathsf{n_{2}}}|}}{||\overrightarrow{\mathsf{n_{1}}}||\cdot ||\overrightarrow{\mathsf{n_{2}}}||}}$


Calculando $\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{n_{1}}}\cdot \overrightarrow{\mathsf{n_{2}}}}}$

     $\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{n_{1}}}\cdot \overrightarrow{\mathsf{n_{2}}}=(1,2,1)\cdot (2,1,-1)}$

     $\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{n_{1}}}\cdot \overrightarrow{\mathsf{n_{2}}}=1\cdot 2+2\cdot 1+1\cdot (-1)}$

     $\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{n_{1}}}\cdot \overrightarrow{\mathsf{n_{2}}}=2+2-1)}$

     $\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{n_{1}}}\cdot \overrightarrow{\mathsf{n_{2}}}=3 \quad (inf.)}$


Calculando $\mathsf{||\overrightarrow{\mathsf{n_{1}}}||}$

     $\mathsf{||\overrightarrow{\mathsf{n_{1}}}||= \sqrt{1^{2}+2^{2}+1^{2}}}$

     $\mathsf{||\overrightarrow{\mathsf{n_{1}}}||= \sqrt{1+4+1}}$

     $\mathsf{||\overrightarrow{\mathsf{n_{1}}}||= \sqrt{6} \quad (inf.)}$


Calculando $\mathsf{||\overrightarrow{\mathsf{n_{2}}}||}$

     $\mathsf{||\overrightarrow{\mathsf{n_{2}}}||= \sqrt{2^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}}$

     $\mathsf{||\overrightarrow{\mathsf{n_{2}}}||= \sqrt{4+1+1}}$

     $\mathsf{||\overrightarrow{\mathsf{n_{2}}}||= \sqrt{6} \quad (inf.)}$


Agora podemos substituir as informações e encontrar o ângulo procurado

     $\mathsf{cos\ \theta=\dfrac{|{\overrightarrow{{\mathsf{n_{1}}}}\cdot \overrightarrow{\mathsf{n_{2}}}|}}{||\overrightarrow{\mathsf{n_{1}}}||\cdot ||\overrightarrow{\mathsf{n_{2}}}||}}$

     $\mathsf{cos\ \theta=\dfrac{|3|}{ \sqrt{6} \cdot \sqrt{6}}}$

     $\mathsf{cos\ \theta=\dfrac{3}{6}}$

     $\mathsf{cos\ \theta=0,5}$

     $\boxed{\mathsf{\theta=60^{\circ}}}$


Bons estudos! :)

Answer 2

O ângulo entre os planos π₁: x + 2y + z - 10 = 0 e π₂: 2x + y - z + 1 = 0 é 60º.

O ângulo entre dois planos pode ser calculado como sendo o ângulo entre seus vetores normais.

A equação cartesiana do plano é da forma ax + by + cz = d, sendo n = (a,b,c) o vetor normal.

Além disso, temos que o ângulo entre dois vetores é dado pela fórmula $cos(\theta)=\frac{<u,v>}{||u||||v||}$.

Na equação do plano π₁: x + 2y + z - 10 = 0, temos que o vetor normal é u = (1,2,1).

Na equação do plano π₂: 2x + y - z + 1 = 0, temos que o vetor normal é v = (2,1,-1).

Calculando o produto interno entre os vetores u e v:

<u,v> = 1.2 + 2.1 + 1.(-1)

<u,v> = 2 + 2 - 1

<u,v> = 3.

Calculando a norma do vetor u:

||u||² = 1² + 2² + 1²

||u||² = 1 + 4 + 1

||u|| = √6.

Calculando a norma do vetor v:

||v||² = 2² + 1² + (-1)²

||v||² = 4 + 1 + 1

||v||² = 6

||v|| = √6.

Sendo assim, temos que o ângulo entre os vetores u e v é igual a:

cos(θ) = 3/√6.√6

cos(θ) = 3/6

cos(θ) = 1/2

θ = 60º.

Para mais informações sobre vetores: https://brainly.com.br/tarefa/17678939