Question

Qual a razão entre a area de um circulo inscrito num quadrado de lado a, e a area de um circulo circunscrito a esse mesmo quadrado?

Answer 1

Olá!

Analisaremos o primeiro caso, em que o círculo está inscrito em um quadrado de lado a, ou seja, está "dentro" dele. Assim, como o raio do círculo é igual à metade do lado do quadrado, temos que o raio r = a/2. Substituindo na fórmula que nos dá a área de um círculo:

A = π * r²
A = π * (a/2)² = (πa²)/4

Já no segundo caso, temos que o círculo está circunscrito no mesmo quadrado de lado a. Entretanto, agora temos que o raio do círculo não é igual á metade do lado e sim à metade do comprimento da diagonal desse quadrado, que é dado por (l√2)/2 = (a√2)/2. Assim, substituindo na fórmula, temos que:

A' = π ((a√2)/2)² = (π*a²*2)/4 = (πa²)/2

Dessa forma, a razão entre as duas áreas encontradas é:

$\dfrac{\dfrac{ \pi a^2}{4} }{\dfrac{\pi a^2}{2} } = \dfrac{ \pi a^2}{2 \pi a^2} = \boxed{\dfrac{1}{2}}$

Abração!