Question

Resolva a inequação em R (x²-3x ) (-x+2) ≥ 0

Answer 1

Como a inequação pede números maiores ou iguais a 0, determinemos as condições onde a inequação torna-se valor nulo ou positivo.
Adote >= como "maior ou igual".

x² - 3x >= 0
x(x-3) >= 0

raiz 1 = 0
raiz 2 = 3

Os valores das raízes são os valores que zeram a equação, e, portanto, x = 0 zera a inequação ou x >= 3 a torna um valor positivo ou também a zera.

Ou seja, na primeira equação, para zerarmos e também não obtermos valores negativos, o valor de x deve ser 0, ou 3, ou maior que 3.

Agora vamos para a outra inequação presente:

-x+2 >= 0
-x >= -2 (-1) (quando invertemos uma inequação, a desigualdade também é invertida)
x <= 2

Ou seja, para a segunda inequação, temos que x deve ser menor do que 2 para que o resultado seja positivo ou igual a zero.

Para a primeira inequação x >= 3  ou x = 0 (a zera ou a torna positiva)
Para a segunda x <= 2 (a zera ou a torna positiva)

Não há interseção, então não há nenhum valor que resolva para ambas inequações com X POSITIVO. Entretanto, essa inequação tem uma peculiaridade, por ser um produto, se ambos os valores das inequações forem NEGATIVOS, o valor final será positivo e portanto será maior do que 0.
Para saber para quais valores os xíses serão negativos simultaneamente, precisamos fazer a interseção dos xíses que dão negativo para cada inequação, para isso, basta inverter a desigualdade:

x >= 3 ficará x <= 3
e x <= 2 ficará x >= 2

Nesse caso teremos a interseção de x <= 3 e x >= 2, que são os valores para dar 0 ou negativar o resultado. A interseção deles dará que x está entre 2 e 3 para que ambas equações na inequação deem valores negativos simultaneamente.

S = {xER / 2 <= x <= 3 ou x = 0}, ou seja, x está entre esses dois valores ou é o zero. Pois neles os valores zeram o resultado ou transformam as duas equações presentes na inequação em valores negativos, e negativo com negativo dá positivo, satisfazendo a inequação >= 0.