Question

marque a alternativa que corresponde á área da região limitada entre as funções x+y=3 e y+x²=3.


4/3 u.a
2 u.a
2/5 u.a
1/6 u.a
9/2 u.a

Answer 1

Pontos de $\mathsf{\cap}$ :

$\mathsf{x+y=3}\\\mathsf{y=3-x}$

$\mathsf{3-x+{x}^{2}-3=0}\\\mathsf{{x}^{2}-x=0}\\\mathsf{x(x-1)=0}$

$\mathsf{x=0}\\\mathsf{x-1=0}\\\mathsf{x=1}$

$\mathsf{y=3-0=3}\\\mathsf{y=3-1=2}$

$\mathsf{A_{(R)}=\int\limits_{0}^{1}([3-{x}^{2}]-[3-x])dx}\\\mathsf{A_{R}=\int\limits_{0}^{1}(3-{x}^{2}-3+x)dx}\\\mathsf{\int\limits_{0}^{1}(x-{x}^{2})dx}$

$\mathsf{A_{(R)}=\int\limits_{0}^{1}([3-{x}^{2}]-[3-x])dx}\\\mathsf{A_{(R)}=\int\limits_{0}^{1}(3-{x}^{2}-3+x)dx}$

$\large A_{(R)} = \mathsf{\int\limits_{0}^{1}(x-{x}^{2}dx)} \\ =\large\mathsf{\frac{1}{2}{x}^{2} - \frac{1}{3} {x}^{3} \big|_{0} ^{1} }$

Vamos avaliar a integral apenas em x=1 pois em x=0 a mesma se anula.

$\mathsf{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3-2}{6}}$

$\huge\boxed{\boxed{\mathsf{\int\limits_{0}^{1}(x-{x}^{2})dx=\dfrac{1}{6}\,u.a}}}$

$\huge\boxed{\boxed{\mathsf{\bf{\textsf{Alternativa\,d}}}}}$