Question

Determine os valores de m de modo que a reta s, de equação 4x + 3y +m =0, e a circunferência de equação x² + y² - 4x - 2y - 4 =0, sejam tangentes.

Answer 1

Oi Godoyfe, como vai?

Uma reta é tangente a uma circunferência se e somente se a distância entre o centro dessa circunferência e a reta for igual ao raio da circunferência.

Portanto, o primeiro passo aqui é transformar essa equação geral da circunferência em uma equação reduzida. Para isso, vamos utilizar o método de redução, agrupando os termos com x e com y:
$x^2+y^2-4x-2y-4= 0 \\ (x^2-4x)+(y^2-2y)=4 \\ (x^2-4x+4)+(y^2-2y+1)=4+4+1\\ .^..\\ \boxed{(x-2)^2+(y-1)^2=9}$

De acordo com a equação reduzida de uma circunferência, agora sabemos que essa circunferência tem raio R = 3 e centro C(2,1).

O próximo passo é descobrir qual é de fato a distância entre o centro C da circunferência e a reta s. A distância d entre um ponto qualquer P(x,y) e uma reta qualquer ax+by+c=0 é dada matematicamente por:
$d= \frac{|ax+by+c|}{ \sqrt{a^2+b^2} }$

Portanto, nessa situação teremos uma distância d tal que:
$d= \frac{|4*2+3+m|}{ \sqrt{4^2+3^2} } = \frac{|11+m|}{ \sqrt{25} } = \boxed{\frac{|11+m|}{5}}$

Lembrando que, como foi dito no início da resolução, para uma reta ser tangente a uma circunferência, precisamos que a distância entre o centro e essa reta seja igual ao raio da circunferência. Como já descobrimos o valor de d e R, podemos impor que:
$\frac{|11+m|}{5}=3 \\ \\ |11+m|=15 \\ \\ 11+m=15 \\m = 14 \\ \\ ou \\ \\ 11+m=-15 \\m = -26$

Portanto, nessas condições, os valores de m são 4 e -26.

Bons estudos!