Question

Lim x–>π/2 1– sen x/1+cos2x

Answer 1

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Calcular o limite:

     $\lim\limits_{x\to \pi/2}~\dfrac{1-\mathrm{sen\,}x}{1+\cos\,2x}$


Use uma das identidades para o cosseno do arco duplo:

     •   cos 2x = 1 − 2 sen² x


de modo que o limite fica

     $=\displaystyle\lim_{x\to \pi/2}~\frac{1-\mathrm{sen\,}x}{1+(1-2\,\mathrm{sen^2\,}x)}\\\\\\ =\lim_{x\to \pi/2}~\frac{1-\mathrm{sen\,}x}{2-2\,\mathrm{sen^2\,}x}\\\\\\ =\lim_{x\to \pi/2}~\frac{1-\mathrm{sen\,}x}{2\cdot (1-\mathrm{sen^2\,}x)}$


Agora, faça uma mudança de variável:

     $\mathrm{sen\,}x=u$


e  $u\to 1$  quando  $x\to \pi/2.$  Então, o limite fica

     $=\lim\limits_{u\to 1}~\dfrac{1-u}{2\cdot (1-u^2)}$


Fatore o denominador usando produtos notáveis (diferença de quadrados). 

     $=\lim\limits_{u\to 1}~\dfrac{1-u}{2\cdot (1-u)\cdot (1+u)}$


Simplifique o fator comum  (1 − u)  no numerador e no denominador:

     $=\lim\limits_{u\to 1}~\dfrac{1}{2\cdot (1+u)}\\\\\\ =\dfrac{1}{2\cdot (1+1)}\\\\\\ =\dfrac{1}{2\cdot 2}$

     $=\dfrac{1}{4}$    <————    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)