Question

Urgenteeeeeeeee : ao estudar os números complexos um estudante resolveu determinar o argumento do número complexo z= 2+2i que resultado ele encontrou para esse argumento? Alternativas na foto.

Answer 1

Vamos lá.

Reja, Ramon, que a resolução é simples.
Pede-se o argumento do seguinte complexo:

z = 2 + 2i.

Antes de iniciar, veja que: o argumento de um número complexo, da forma z = a + bi, é dado da seguinte forma::

cos(α) = a/|z| , em que "a" é a parte real do complexo e |z| é o módulo do complexo;
e
sen(α) = b/|z|, em que "b" é a parte imaginária do complexo e |z| é o módulo do complexo.

E note ainda que o módulo de um complexo da forma z = a + bi é dado da seguinte forma:

|z| = √(a²+b²).

Assim, tendo o que se falou aí em cima como parâmetro, então vamos encontrar o argumento do complexo da sua questão e vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Primeiro vamos encontrar qual é o módulo do complexo:  z = 2 + 2i. Assim:

|z| = √(2² + 2²)
|z| = √(4+4)
|z| = √(8) ---- note que 8 = 2³ = 2².2. Assim:
|z| = √(2².2) ---- veja que o "2" que está ao quadrado sai de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos apenas com:

|z| = 2√(2)    <--- Este é o valor do módulo do complexo da sua questão.

ii) Agora, sim, iremos encontrar qual é o argumento (α) do complexo da sua questão, que é este: z = 2 + 2i. Então:

cos(α) = 2 / 2√(2) ----- para racionalizar, vamos multiplicar numerador e denominador por √(2). Assim:

cos(α) = 2*√(2) / 2√(2)*√(2) --- efetuando este produto, teremos;
cos(α) = 2√(2) / 2*2
cos(α) = 2√(2) / 4 ---- simplificando-se tudo por "2", ficaremos apenas com:
cos(α) = √(2) / 2 <--- Este é o valor do cos(α).

e

sen(α) = 2/2√(2) --- note que, ao racionalizar, vamos chegar ao mesmo valor a que chegamos para o cos(α). Logo, teremos que:

sen(α) = √(2) / 2.

iii) Agora veja: o cosseno e o seno são iguais a √(2) / 2 em todo o círculo trigonométrico no ângulo agudo de 45º (ou π/4 radianos).
Logo, a resposta para o argumento do complexo z = 2 + 2i será este:

π/4 <--- Esta é a resposta. Opção "a".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.