Question

Um numero real k é denominado de autovalor de uma matriz quadrada A, se este número for uma equação det (A - k . I) = 0, sendo I a matriz identidade de mesma ordem de A. Calcule os autovalores da matriz
$\left[\begin{array}{ccc}1&3\\2&2\\\end{array}\right]$

Answer 1

Vamos usar a definição que foi dada pelo enunciado. Queremos ter $\det(A-kI)=0$. Então, vamos primeiro escrever a matriz $A-kI$:

$A-kI=\left[\begin{matrix}1&3\\2&2\end{matrix}\right]-k\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right]\\\\ A-kI=\left[\begin{matrix}1&3\\2&2\end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix}k&0\\0&k\end{matrix}\right]\\\\ A-kI=\left[\begin{matrix}1-k&3\\2&2-k\end{matrix}\right]$

Agora, para que $k$ seja um autovalor, o determinante da matriz acima deve ser nulo:

$\det(A-kI)=0\\\\ \left|\begin{matrix}1-k&3\\2&2-k\end{matrix}\right|=0\\\\ (1-k)(2-k)-3\cdot2=0\\\\ 2-k-2k+k^2-6=0\\\\ k^2-3k-4=0\\\\\\ \Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-4)=9+16\Longrightarrow \Delta=25\\\\\\ k=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{25}}{2\cdot1}=\dfrac{3\pm5}{2}\\\\\\ k_1=\dfrac{3+5}{2}~~~~k_2=\dfrac{3-5}{2}\\\\ \boxed{k_1=4}~~~~~~~~~~\boxed{k_2=-1}$

Logo, os autovalores da matriz são -1 e 4.