Question

Desafio ⇒ ITA !

Uma pirâmide de $h \ = \ 1 \ cm$ e $V \ = \ 50 \ cm^3$ tem como base um polígono convexo de $n$ lados.
A partir de um dos vértices do polígono traçam-se $(n \ - \ 3)$ diagonais que o decompõem em $(n \ - \ 2)$ triângulos cujas áreas $A_i \ (i \ = \ 1, \ 2, \ ... \ , (n \ - \ 2)) )$ estão em $PA$.
Sabe-se que $A_3 \ = \ \frac{3}{2} \ cm^2$ e $A_6 \ = \ 3 \ cm^2$.

Determine $n$.

Answer 1

Boa noite João!!

A fórmula da área da base de uma pirâmide é:
$A = \frac{1}{3}.Ab.h$
Sendo:
Ab = área da base
h = altura

Assim:
$50 = \frac{1}{3} .Ab.1$
$50 = \frac{Ab}{3}$
Ab = 50.3
Ab = 150 cm² 

Temos que as áreas dos triângulos formados pelas diagonais do polígono estão em P.A. O termo geral da P.A é:
an = a1 + (n - 1).r

Precisamos achar a razão e o primeiro termo (a1). Usando os valores de a3 e a6:
a3 = a1 + (3 - 1).r
a3 = a1 + 2r
$\frac{3}{2} = a_{1} + 2r$   
Isolando o valor de a1:
$a_{1} = \frac{3}{2} - 2r$

a6 = a1 + (6 - 1).r
a6 = a1 + 5r
3 = a1 + 5r
Substituindo o valor de a1 nesta equação:
$3 = \frac{3}{2} - 2r + 5r$    → MMC = 2
6 = 3 - 4r + 10r
10r - 4r = 6 - 3
6r = 3
r = 3/6   → Simplificando tudo por 3:
r = 1/2

Substituindo o valor de r para achar o a1:
$a_{1} = \frac{3}{2} - 2. \frac{1}{2}$
$a_{1} = \frac{3 - 2}{2}$
$a_{1} = \frac{1}{2}$

Sendo a razão 1/2, podemos perceber que as áreas são:
A1 = 1/2 cm²
A2 = 2/2 cm²
A3 = 3/2 cm²
.
.
.

Como vemos que as áreas vão sempre ser frações e o número do numerador é o mesmo número das áreas existentes, percebemos que:
$A_{n - 2} = \frac{n-2}{2}$ → respeitando a lógica das áreas encontradas antes

Sendo a área A1 = 1/2 e a An-2 (a última área, no caso) = n-2/2 e sendo a área total da base igual a 150 cm², podemos achar o valor de n utilizando o conceito da soma dos n primeiros termos de uma P.A. A sua fórmula é:
$S_{n} = \frac{( a_{1} + a_{n}).n }{2}$

Temos:
$a_{1} = \frac{1}{2} , a_{n} = \frac{n - 2}{2} , n = n - 2$
e Ab = 150

Substituindo:
$150 = \frac{ (\frac{1}{2} + \frac{n - 2}{2}).(n-2) }{2}$

Multiplicando cruzado:
$300 = \frac{n - 1}{2}.(n - 2)$

Multiplicando cruzado mais uma vez:
600 = (n - 1).(n - 2)

Fazendo a multiplicação distributiva:
600 = n² - 2n - n + 2
600 = n² - 3n + 2
n² - 3n + 2 - 600 = 0
n² - 3n - 598 = 0

Δ = (-3)² - 4.1.(-598)
Δ = 9 + 2392
Δ = 2401

$n' = \frac{- (-3) - \sqrt{2401} }{2.1}$
$n' = \frac{3 - 49}{2}$
$n' = \frac{- 46}{2}$
n' = - 23

$n'' = \frac{-(-3) + \sqrt{2401} }{2.1}$
$n'' = \frac{3 + 49}{2}$
$n'' = \frac{52}{2}$
n = 26

Temos n = - 23 ou n = 26
Como não pode haver área negativa:
n = 26

Espero ter ajudado ;)