Question

Calcule o limite:

$\lim_{x \to 0}\frac{1-\frac{x^2}{2}-cos(\frac{x}{1-x^2})}{x^4}$

Answer 1

Lim x>0  (1 - x²/2 – cos (x/1 - x²))/x^4            substituindo x por 0:               
               (1 - 0/2 – cos(0/1 – 0²))/ 0^4               
               (1 - cos 0)/0               
                (1 - 1)/0 = 0/0                            (Forma indeterminada)

Olá, primeiro note que como o limite está na forma f(x)/g(x) podemos usar L’Hopital, mas note uma coisa, para resolver esse problema por L'Hopital, tenha em mente que em g(x) como x tende a 0 enquanto tiver uma variável lá g(x) será 0, então, até a 4ª derivada ele sempre será 0, observe:

g(x) = x⁴, g’(x) = 4x³, g’’(x) = 12x², g’’’(x) = 24x , g⁴(x) = 24.

Então note uma coisa, se f(x) da 1ª a 3ª derivada der 0 a função dará forma indeterminada e poderemos aplicar L’Hopital de novo, se der diferente de 0 será indefinido e poderemos calcular seu limite.

Para derivar f(x) vou usar algumas trocas, sendo u, v, z  funções deriváveis em x:    
u = x/(1 - x²)
v = u’ 
w = v’ 
z = w’
z - v³ = a

Vamos lá:
f(x) = 1 - x²/2 – cos (x/1 - x²)      
f(x) = 1 - x²/2 – cos u           <<< aplicando a primeira derivada:
f’(x) = -x + sen u . v            <<< arrumando:
f’(x) = -x + v. sen u              <<< aplicando a segunda derivada:

f’’(x) = -1 + w. sen u + v. cos u . v      <<< arrumando: 
f’’(x) = -1 + w. sen u + v². cos u          <<< aplicando a terceira derivada: 

f’’’(x) = z. sen u + w.cos u . v + 2.v.w.cos u + v² . (-sen u) . v 
f’’’(x) = z. sen u + w.v. cos u + 2.v.w.cos u - v³.(sen u)
f’’’(x) = (z - v³)sen u + 3.w.v. cos u 
f’’’(x) = a. sen u + 3.w.v. cos u              <<< aplicando a quarta derivada:

f’’’’(x) = a’.sen u + (z – v³).cos u . v + 3.((w² + v.z)cos u + wv² . (-sen u)

Agora que vamos analisar variável por variável:
u = x/(1 – x²) , substituindo x por 0:   
u = 0/(1-0²) = 0           
Perceba que como u = 0, sen u = 0 e cos u = 1, então substitua isso na derivada:

f⁴(x) = a’.sen u + (z - v³).cos u . v + 3.((w² + v.z)cos u + wv² . (-sen u)
f⁴(x) = a’. 0 + (z - v³).1 . v + 3.((w² + v.z).1 + w.v² . (0)
f⁴(x) = (z - v³).v + 3(w² + vz)f’’’’(x) = zv - v⁴ + 3w² + 3vz
f⁴(x) = -v⁴ + 3w² + 4vz
____________________________________
v = u’v = (1(1-x²) - x(-2x))/(1-x²)²
v = (1 - x² + 2x²)/(1 - x²)²
v = (1 + x²)/(1 - x²)²                  substituindo x por 0: 
v = (1 + 0)/(1 - 0)² = 1/1 = 1             

Substituindo v por 1:
f⁴(x) = -v⁴ + 3w² + 4vz
f⁴(x) = -1⁴ + 3w² + 4.1.z
f⁴(x) = -1 + 3w²+ 4z  
___________________________________________________________
w = z’
w = ((1+x²).2.(1-x²).(-2x) + 2x(1 - x²)²)/(1 - x²)⁴ 
w = ((1 - x⁴).4x + 2x(1 - x²)²)/(1 - x²)⁴               substituindo x por 0:
w = ((1 - 0).4.0 + 2.0.(1 - 0²)²)/(1 – 0²)⁴
w = 0/1 = 0     
                     
Substituindo w por 0:
f⁴(x) = -1 + 3w² + 4z 
f⁴(x) = -1 + 3.0 + 4z
f⁴(x) = -1 + 4z
_______________________________________________________
z = w’
z = ((1 - x⁴).4 + (-4x³).4x + 2(1-x²)² + 2x. 2.(1 - x²)(-2x))/((1 - x²)⁴)²)   substituindo x:
z = ((1 - 0).4 + (-4.0).4.0 + 2(1-0)² + 2.0.0.(1 - 0)(-2.0))/((1 - 0)⁴)²)
z = (1.4 + 0 + 2.1 + 0)/(1⁴)²)
z = (4+2)/1
z = 6

Substituindo z por 6:
f⁴(x) = -1 + 4z
f⁴(x) = -1 + 4.6
f⁴(x) = -1 + 24 = 23
____________________________________________________________
Agora, vamos achar o limite, como eu falei lá em cima, se f’(x), f’’(x) ou f’’’(x) der 0, f⁴(x)/g⁴(x) será o nosso limite, se algum deles diferir de 0, pararemos lá e calcularemos o limite.
Note que temos já temos os valores de x, v, u e z:
f’(x) = -x + v. sen u   f’(x) = -0 + 1. sen 0
f’(x) = 0                     <<< ok

f’’(x) = -1 + w. sen u + v². cos u
f’’(x) = -1 + 0.sen 0 + 1². cos 0
f’’(x) = -1 + 0 + cos 0
f’’(x) = -1 + 1
f’’(x) = 0                     <<< ok

f’’’(x) = (z - v³)sen u + 3.w.v. cos u     
f’’’(x) = (6 - 1³).sen 0 + 3.0.1. cos 0
f’’’(x) = 0 + 0 = 0            <<<< ok

Então, temos que:
lim x>0 f(x)/g(x) = lim x>0  f⁴(x)/g⁴(x)  = 23/24

Bons estudos

Answer 2

Resolução da questão, vejamos:

Resolver o limite:

$\mathsf{\displaystyle\lim_{x~\to ~0}~\dfrac{1-\frac{x^2}{2}-cos\left(\frac{x}{1-x^2}\right)}{x^4}}}}$

Façamos:

$\mathsf{t=\dfrac{x}{1-x^{2}}}~=>\mathsf{x^{2}=1-\dfrac{x}{t}}}$

Vejamos:

$\mathsf{\displaystyle\lim_{x~\to ~0}~\dfrac{1-\frac{x^2}{2}-cos\left(\frac{x}{1-x^2}\right)}{x^4}}}=\mathsf{\displaystyle\lim_{x~\to ~0}~\dfrac{1+\frac{x}{t}-2\left(1-\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{4}}{4}-...\right)}{2x^{4}}}}}\\\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\lim_{x~\to ~0}~\dfrac{-1+\frac{x}{t}+t^{2}-\frac{t^{4}}{12}+...}{2x^{4}}}}}\\\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\lim_{x~\to ~0}~\dfrac{-x^{2}+t^{2}\left(1-\frac{t^{2}}{12}+...\right)}{2x^{4}}}}}\\\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\lim_{x~\to ~0}~\dfrac{-x^{2}+\frac{x^{2}}{(1-x^{2})^{2}}\left(1-\frac{t^{2}}{12}+...\right)}{2x^{4}}}}}\\\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\lim_{x~\to ~0}~\dfrac{-1+\frac{1}{(1-x^{2})^{2}}\left(1-\frac{t^{2}}{12}+...\right)}{2x^{2}}}}}$

Deste modo, segue-se que:

$\mathsf{\displaystyle\lim_{x~\to ~0}~\dfrac{-1+\frac{1}{(1-x^{2})^{2}}\left(1-\frac{t^{2}}{12}+...\right)}{2x^{2}}}}=\mathsf{\displaystyle\lim_{x~\to~0}~\dfrac{-1+(1-x^{2})^{-2}\left(1-\frac{t^{2}}{12}+...\right)}{2x^{2}}}}\\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\lim_{x~\to ~0}~\dfrac{-1+(1+2x^{2}+...)\left(1-\frac{t^{2}}{12}+...\right)}{2x^{2}}}}\\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\lim_{x~\to~0}~\dfrac{-1+1+2x^{2}-\frac{t^{2}}{12}+...}{2x^{2}}}}\\\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\lim_{x~\to~0}~\dfrac{2x^{2}-\frac{x^{2}}{12(1-x^{2})^{2}}+...}{2x^{2}}}}}\\\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\lim_{x~\to~0}~\dfrac{2-\frac{x^{2}}{12(1-x^{2})^{2}}+...}{2}}}\\\\\\\\ \mathsf{\dfrac{2-\frac{1}{12}}{2}}~=>~\Large\boxed{\boxed{\mathbf{\dfrac{23}{24}}}}}}}}}}}~~\checkmark}}}$

Ou seja, a solução deste limite é 23/24.

Espero que te ajude. (^.^)