Question

Seja $f(x)=a+2^{bx+c}$, em que a, b e c são números reais. A imagem de f é a semireta ]-1,+∞[. Quanto vale a?

Answer 1

Substituindo o ponto (1, 0) na função temos:

$f(x)=a+2^{bx+c}\Rightarrow f(1)=a+2^{b+c}\Rightarrow \boxed{a+2^{b+c}=0}$


 O ponto (0, -3/4):

$f(x)=a+2^{bx+c}\Rightarrow f(0)=a+2^c\Rightarrow \boxed{a+2^c=-\frac{3}{4}}$


 Daí o sistema: $\begin{cases}a+2^{b+c}=0\\a+2^c=-\frac{3}{4}\end{cases}$

 Resolvendo-o,

$\begin{cases}a+2^{b+c}=0\\a+2^c=-\frac{3}{4}\;\;\times(-1\end{cases}\\\\\begin{cases}a+2^{b+c}=0\\-a-2^c=+\frac{3}{4}\end{cases}\\---------\\2^{b+c}-2^c=\frac{3}{4}\\\\2^b\cdot2^c-2^c=\frac{3}{4}$

$2^c(2^b-1)=\frac{3}{4}\\\\2^2\cdot2^c(2^b-1)=3\\\\2^{c+2}(2^b-1)=1\cdot3$

$2^{c+2}$ ou é par, ou, vale 1;
$2^b-1$ ou é ímpar, ou, negativo;

 Portanto,

$\begin{cases}2^{c+2}=1\Rightarrow2^{c+2}=2^0\Rightarrow c+2=0\Rightarrow\boxed{c=-2}\\2^b-1=3\Rightarrow2^b=4\Rightarrow2^b=2^2\Rightarrow\boxed{b=2}\end{cases}$

 Por fim, substituindo os valores obtidos numa das equações do sistema...

$a+2^{b+c}=0\\\\a+2^{2-2}=0\\\\a+2^0=0\\\\a+1=0\\\\\boxed{\boxed{a=-1}}$