Question

Resolva o determinante abaixo pelo teorema de Laplace:

Answer 1

No teorema de Laplace, escolhemos uma linha ou coluna, que será eliminada da matriz para diminuir o tamanho desta, gerando novas matrizes e somando seus determinantes, encontrando, o determinante da matriz primária. Vamos lá:



$D= \left[\begin{array}{cccc}3&1&-2&1\\5&2&2&3\\7&4&-5&0\\1&-1&11&2\end{array}\right]$

Vamos escolher a segunda linha, que é composta por: $d_{21}, d_{22}, d_{23}, d_{24}$

$d_{21}= 5$
$d_{22}= 2$
$d_{23}= 2$
$d_{24}= 3$


Nós criamos uma nova matriz, sem os elementos da linha escolhida e sem nenhum número da coluna do respectivo termo, sei q fica meio difícil de entender, então vamos à prática:



Matriz $d_{21}$ = $\left[\begin{array}{ccc}1&-2&1\\4&-5&0\\-1&11&2\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1&-2\\4&-5\\-1&11\end{array}\right]$

Lembrando, na Matriz 3x3, que foi a matriz formada devemos copiar as 2 primeiras colunas ao lado e calcular o determinante normalmente. Vamos lá:

det = DP - DS
det = - 10 + 0 + 44 - ( - 16 + 0 + 5)
det = 34 + 21
det = 55

ou seja, det$d_{21}$=55

Repetindo o processo e formando outras matrizes, temos:

$\left[\begin{array}{ccc}3&-2&1\\7&-5&0\\1&11&2\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}3&-2\\7&-5\\1&11\end{array}\right]$

det = -30 + 0 + 77 - (-28 + 0 - 5)
det = 40 + 33
det = 73

det$d_{22}$= 73

$\left[\begin{array}{ccc}3&1&1\\7&4&0\\1&-1&2\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}3&1\\7&4\\1&-1\end{array}\right]$

det = 24 + 0 - 7 - (14 + 0 + 4)
det = 17 - 18
det = -1

det$d_{23}$= -1


$\left[\begin{array}{ccc}3&1&-2\\7&4&-5\\1&-1&11\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}3&1\\7&4\\1&-1\end{array}\right]$

det = 132 - 5 + 14 - (77 + 14 - 8)
det = 141 - 83
det = 58

det$d_{24}$= 58

5.d_{21} = (-1)^3 . 55 = - 55
2.d_{22}= (-1)^4 . det = 73
2.d_{23}= (-1)^5 . det = 1
3.d_{24}= (-1)^6 . det = 58

 5.$d_{21} + 2.d_{22} + 2.d_{23} + 3.d_{24}$= DET

5.(-55) + 2.73 + 2.1 + 3.58 = DET

DET = - 275 + 146 + 2 + 174
DET = 47