Question

Sabendo que Q(1, x) é um ponto do 4° quadrante e que a distância de Q ao ponto P(0,4) é 5√2, calcule o valor de x.

Answer 1

A distância entre pontos é calculada com a seguinte fórmula:
$D= \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1} })^2$

Resolvendo, temos:
$5\sqrt{2}}= \sqrt{(0-1)^{2}+(4-x)^2$ - Primeiro passo é substituir os termos que temos no problema.

Continuando:
$5\sqrt{2}= \sqrt{(-1)^{2}+(4-x)^2$

Para tornar a resolução mais simples, podemos elevar os dois lados ao quadrado e eliminamos os radicais por simplificação:
$(5\sqrt{2})^2=( \sqrt{(0-1)^{2}+(4-x)^2})^2$ - Ficando então:
$25*2= (-1)^{2}+(4-x)^2$ - Note que os expoentes que se encontravam dentro do radical não "sumiram".

Agora, resolvemos:
$50= 1+16-8x+x^2$

Reorganizando a equação:
$x^2-8x+1+16-50=0$

Melhorando ainda mais a equação:
$x^2-8x-33=0$

Chegamos em uma equação do segundo grau, onde obviamente, teremos dois valores para x (raízes).
Resolvendo então, resolvemos "Delta" primeiro:
$b^{2} -4ac$ - Vamos substituir:
$(-8)^{2} -4*1*(-33)$

Resolvendo:
$64-4*(-33)$ - Continuando
$64-(-132)$
Temos que Δ é:
$64+132=196$

Resolvendo a "segunda parte" da fómula de Báskara para acharmos os valores de x:
$x'=(-(-8)- \sqrt{196})/2*1$ - Resolvendo:
$x'=(8-14})/2$ - Continuando
$x'=-6/2=-3$

$x"=(-(-8)+ \sqrt{196} )/2*1$ - Resolvendo
$x"=(8+ 14)/2$ - Continuando...
$x"=22/2=11$.

A equação nos deu dois valores para x, como previsto: -3 e 11. Como o problema nos informa que o ponto Q situa-se no 4° quadrante, o valor que teremos para a incógnita x, que se refere ao valor do eixo y, vamos usar o valor negativo. Logo, o x procurado é -3.

Bons estudos!