Question

Ajuda pra calcular o valor do limite: lim | 1−x | / x-1
x→1−

Answer 1

lim (x> 1⁻)   |1−x| / x-1 =   
                    l1-1l / 1-1 = 
                       0/0   ( Forma indeterminada)
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Modo 1: Substituindo por valores cada vez mais próximos:

Como x está se aproximando de 1 pela esquerda, os números sempre serão menores que 1 (0,5 , 0,8 , 0,9 , ...)

Um dos modos de resolver esse exercício é ir substituindo x por valores cada vez mais próximos de 1 (mas pela esquerda, claro) e ir vendo o que acontece com a função:

l1 - 0,5l/(0,5 - 1) = 
l0,5l/-0,5 = -1

l1 - 0,8l/(0,8 - 1) = 
l0,2l/-0,2 = -1

l1 - 0,998l/(0,998 - 1) = 
0,002/-0,002 = -1

lim (x> 1⁻)   |1−x| / x-1 = -1.
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Modo 2: Analisando o que está acontecendo com essa função:

Sabemos que l-5l = l5l, do mesmo modo l-xl = lxl, com base nisso:
l1 - xl = l-1 + xl  ou lx-1l

Agora vamos arrumar esse limite:
lim (x> 1⁻)   |1−x| / (x-1) =    
lim (x> 1⁻)   |x - 1|/ (x-1) =   <<< se dividirmos um número por ele mesmo,                                                  teremos 1 como resposta, mas como em cima                                                está em módulo, precisamos analisar o sinal, ou                                              seja, se o limite será +1 ou -1.       

Perceba que x está se aproximando de 1 pela esquerda, logo os valores são positivos (0,7 , 0,8 , 0,998 ,...), como em cima está em módulo, o valor em cima será necessariamente positivo. Embaixo como o valor de x sempre será menor que 1, se subtrairmos 1 desse valor, resultará em um valor negativo. Se dividirmos um número positivo com negativo, teremos um número negativo.

Então esse limite, pela esquerda, será -1.

Bons estudos