Question

ola bom dia alguém ai tem resposta para essa questão?

1 - Um aquário de base quadrada será construído no salão de entrada de um motel. Quais devem ser as dimensões que minimizam a área total deste aquário (sem tampa), sabendo que o volume máximo de água que ele pode armazenar e de 2 m³

Answer 1

V: volume do aquário
a: medida do lado da base
At: área total
Al: área do lado do aquário

Sabe-se que o volume é 2, e é dado pela área da base multiplicada pela altura:
V = a²h
2 = a²h
h = 2/(a²)

Como o aquário tem 4 lados e 1 base, sua área total vai ser 4 multiplicado pela área do lado e somado à área da base:
At = 4*Al + Ab

A gente sabe quanto mede a área do lado do aquário - que é medida da base multiplicada pela altura h, a qual a gente também sabe quanto é -, a gente substitui isso na equação da área total, ficando assim:
At = 4*(a*(2/(a²))) + a²
At = 4*((2*a)/(a*a)) + a²
At = 4*(2/a) + a²
At = 8/a + a²
At = 2a - 8/a²

Agora basta que calculemos a derivada da equação da área total e achemos seu(s) ponto(s) crítico(s):
2a - 8/a² = 0
(2a³ - 8)/a² = 0
2a³ - 8 = a²*0
2a³ = 8
a³ = 8
a = 2

Ou seja, a = 2 é o valor que minimiza a área total.

Por que a = 2 é o que minimiza e não o que maximiza? 
Porque a = 2 torna a derivada igual a 0, e ao mesmo tempo qualquer valor à direita (acima) de 2 torna a derivada positiva.