Question

Três números estão em P.A crescente sua soma é 15 e a soma de seus quadrados é 107. Qual o primeiro desses números?

Answer 1

PA = (x, y, z)

x + y + z = 15
x^2 + y^2 + z^2 = 107

S3 = 15
S3 = (a1 + a3).3/2
30 = (a1 + a3).3
30 = 3x + 3z
10 = x + z

x + y + z = 15
10 + y = 15
y = 15 - 10
y = 5

x^2 + y^2 + z^2 = 107
x^2 + 25 + z^2 = 107
x^2 + z^2 = 107 - 25
x^2 + z^2 = 82

x + z = 10
x = 10 - z

(10 - z)^2 + z^2 = 82
100 - 20z + z^2 + z^2 = 82
100 - 20z + 2z^2 = 82
2z^2 - 20z + 18 = 0

Δ = b^2 - 4.a.c 
Δ = -20^2 - 4 . 2 . 18 
Δ = 400 - 4. 2 . 18 
Δ = 256

Há 2 raízes reais.

z = (-b +- √Δ)/2a

z' = (--20 + √256)/2.2   
z'' = (--20 - √256)/2.2

z' = 36 / 4   
z'' = 4 / 4

z' = 9   
z'' = 1

Aqui temos duas possibilidades, onde a PA é
(x, 5, 9) e quando a PA é (x, 5, 1)
No primeiro caso r = 4 e no segundo caso r = -4

Então x pode ser 1 ou 9

Ou seja, o primeiro número pode ser 1 ou 9.

Mas, quando fazemos o teste em:

x^2 + y^2 + z^2 = 107

Com as duas PA's temos:

(1, 5, 9)

1^2 + 5^2 + 9^2 = 107
1 + 25 + 81 = 107
107 = 107
Correto

Agora com a outra:


(9, 5, 1)

9^2 + 5^2 + 1^2 = 107
81 + 25 + 1 = 107
107 = 107
Correto.

Então, os primeiros números podem ser tanto 9 quanto 1.