Question

No desenvolvimento do binômio $( x^{2} + \frac{y}{2})^9$ o sexto termo é?

Answer 1

$Bin\^omio \ de \ Newton \ \Rightarrow \\ \\ A_{(p \ + \ 1)} \ = \ \binom{n}{p} \ \cdot \ a^{(n \ - \ p)} \ \cdot \ b^{(p)}$

$Onde, \ tomando \ a \ forma \ gen\'erica \ de \ um \ n\'umero \ binomial \ como : \\ \boxed{(a \ + \ b)^n} \ , temos \ que : \\ \\ (p \ + \ 1) \ \rightarrow \ Posi\c{c}\~ao \ do \ termo; \\ \\ A_{(p \ + \ 1)} \ \rightarrow \ Termo \ da \ posi\c{c}\~ao \ (p \ + \ 1); \\ \\ \binom{n}{p} \ \rightarrow \ Binomial \ de \ n \ 'sobre' \ p \ (\frac{n!}{(n \ - \ p)! \ \cdot \ p!})...$

$Analisando \ o \ bin\^omio \ de \ Newton \ (x^2 \ + \ \frac{y}{2})^9, \ temos \Rightarrow \\ \\ a \ = \ x^2; \\ \\ b \ = \ \frac{y}{2}; \\ \\ n \ = \ 9$

$Para \ o \ \bold{sexto} \ termo, \ (p \ + \ 1) \ = \ 6 \ \rightarrow \\ \\ p \ + \ 1 \ = \ 6 \ \rightarrow \ \boxed{p \ = \ 5}$

$A_{(p \ + \ 1)} \ = \ \binom{n}{p} \ \cdot \ a^{(n \ - \ p)} \ \cdot \ b^{(p)} \ \Rightarrow \\ \\ n \ = \ 9; \\ p \ = \ 5; \\ a \ = \ x^2; \\ b \ = \ \frac{y}{2}.$

$A_{(6)} \ = \ \binom{9}{5} \ \cdot \ x^2^{(9 \ - \ 5)} \ \cdot \ ( \frac{y}{2} )^{(5)} \ \rightarrow \\ \\ A_{(6)} \ = \ \frac{9!}{(9 \ - \ 5)! \ \cdot \ 5!} \ \cdot \ x^2^{(4)} \ \cdot \ ( \frac{y}{2} )^{(5)} \ \rightarrow \\ \\ A_{(6)} \ = \ \frac{9!}{4! \ \cdot \ 5!} \ \cdot \ x^8 \ \cdot \ \frac{y^5}{32} \ \rightarrow \\ \\ A_{(6)} \ = \ \frac{9 \ \cdot \ 8 \ \cdot \ 7 \ \cdot \ 6 \ \cdot \ \not{5!}}{4! \ \cdot \ \not{5!}} \ \cdot \ x^8 \ \cdot \ \frac{y^5}{32} \ \rightarrow$

$A_{(6)} \ = \ \frac{9 \ \cdot \ 48 \ \cdot \ 7}{24} \ \cdot \ x^8 \ \cdot \ \frac{y^5}{32} \ \rightarrow \\ \\ A_{(6)} \ = \ 9 \ \cdot \ 2 \ \cdot \ 7 \ \cdot \ x^8 \ \cdot \ \frac{y^5}{32} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{A_{(6)} \ = \ \frac{63 \ \cdot \ x^8 \ \cdot \ y^5}{16}}}$