Question

Determine o conjunto solução da equação apresentada abaixo.

1/x-1 = x/x^2 - 4

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Samuel, que a resolução é simples.
Pede-se para determinar o conjunto-solução da seguinte expressão:

1/(x-1) = x/(x²-4).

Veja que o domínio de uma função é o conjunto onde "x" poderá assumir valores.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Note que, no 1º membro "x' não poderá ser igual a "1", pois se "x" for igual a "1" no 1º membro vamos ter o denominador igual a zero. E não existe divisão por zero. Logo, uma das condições de existência da expressão da sua questão será:

x ≠ 1 ----- Esta é uma condição de existência da expressão da sua questão.

ii) Por sua vez, no 2º membro, temos o denominador "x²-4".
Note que aqui "x" nem poderá ser igual a "-2" nem igual a "2", pois se "x" for um desses dois valores, também iremos ter o denominador do segundo membro igual a zero. E, repetindo: não existe divisão por zero.
Então, no 2º membro, há mais essas duas condições de existência da expressão da sua questão:

x ≠ -2 e x ≠ 2 ----- Estas são mais duas condições de existência da expressão da sua questão.

Note que se você colocar isso numa reta numérica, os pontos acima vistos serão marcados com uma bola branca (ou bola vazada), indicando que, nesses pontos "x" não poderá assumir valor.  Em todo o resto da reta numérica "x" assumirá valores sem nenhum problema. Só não pode assumir nos pontos marcados. Veja:


x≠-2; x≠1; x≠2..._____○_________○____○___________.......
. . . . . . . . . . . . . . . . ... (-2). . . . . . . .....(1). . . ..(2) . . . . . . . . . . . . . .

iii) Assim, resumindo, teremos que o conjunto-solução (ou o domínio) da expressão da sua questão será este:

x ≠ -2; x ≠ 1 e x ≠ 2 ---- Esta é a resposta. Ou seja, este é o conjunto-solução (ou o domínio) da expressão da sua questão.

Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | x ≠ -2; x ≠ 1 e x ≠ 2}.

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução (ou o domínio) poderá ser apresentado do seguinte modo, o que dá no mesmo:

S = (-∞; -2) ∪ (-2; 1) ∪ (1; 2) ∪ (2; +∞).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.