Question

Considere a seguinte função de custo marginal:

Answer 1

Olá



$\displaystyle \mathsf{C'(x) = \frac{5x}{ \sqrt{900^2+x^2} }+4 }$



Deve-se utilizar a regra do quociente para resolver esta derivada, que é dada por:

$\displaystyle \mathsf{\left( \frac{f}{g} \right)'~=~ \frac{f'\cdot g~-~f\cdot g'}{g^2} }$

A derivada de uma raiz quadrada é dada por

$\displaystyle\mathsf{( \sqrt{u} )'~=~ \frac{u'}{2 \sqrt{u} } }$


Derivada de uma constante é zero.



Derivando...



$\displaystyle\mathsf{C''(x) ~=~ \frac{5\cdot\sqrt{900^2+x^2}~-~5x\cdot \frac{2x}{2\sqrt{900^2+x^2}} }{ (\sqrt{900^2+x^2}) ^2} }\\\\\\\\\text{Simplificando}\\\\\\\\\mathsf{C''(x) ~=~ \frac{5\cdot\sqrt{900^2+x^2}~-~\frac{5x^2}{\sqrt{900^2+x^2}} }{ 900^2+x^2 } }\\\\\\\\\text{Calcula o MMC entre as fracoes do numerador}\\\\\\\\\mathsf{C''(x)= \frac{ \frac{5(\sqrt{900^2+x^2})^2~-~5x^2}{\sqrt{900^2+x^2}} }{900^2+x^2} }\\\\\\\\\text{Divisao de fracoes, multiplica a primeira pelo inverso da segunda}$


$\displaystyle \boxed{\mathsf{C''(x)= \frac{5(900^2+x^2)-5x^2}{(900^2+x^2)\cdot \sqrt{900^2+x^2} } }}$

A derivada é esta, caso prefira expandir o 900² ficará assim


$\displaystyle \mathsf{C''(x)= \frac{5(810000+x^2)-5x^2}{(810000+x^2)\cdot \sqrt{810000+x^2} } }}\\\\\\\\\\\mathsf{C''(x)= \frac{4050000+5x^2-5x^2}{(810000+x^2)\cdot \sqrt{810000+x^2} } }}\\\\\\\\\\\boxed{\mathsf{C''(x)= \frac{4050000}{(810000+x^2)\cdot \sqrt{810000+x^2} } }}$