• Matéria: Matemática
  • Autor: sabrinlobo
  • Perguntado 8 anos atrás

Qual o limite ( √(25+3t) - 5) / t , quando t tende a zero?

Respostas

respondido por: Lukyo
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Calcular o limite da função

     \lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\sqrt{25+3t}-5}{t}


Faça uma mudança de variável:

     \sqrt{25+3t}=u\\\\ 25+3t=u^2\\\\ 3t=u^2-25\\\\ t=\dfrac{u^2-25}{3}

u  tende a  5  quando  t  tende a zero.


Dessa forma, o limite fica

     \displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{\sqrt{25+3t}-5}{t}\\\\\\ =\lim_{u\to 5}\frac{u-5}{~~\frac{u^2-25}{3}~~}\\\\\\ =\lim_{u\to 5}\frac{3(u-5)}{u^2-25}\\\\\\ =\lim_{u\to 5}\frac{3(u-5)}{u^2-5^2}


Fatore o denominador usando produtos notáveis. A diferença entre quadrados é o produto da soma pela diferença. Assim, o limite fica

     =\lim\limits_{u\to 5}\dfrac{3(u-5)}{(u-5)(u+5)}


Simplifique o fator comum  (u  5)  que aparece no numerador e no denominador:

     =\lim\limits_{u\to 5}\dfrac{3}{u+5}\\\\\\ =\dfrac{3}{5+5}

     =\dfrac{3}{10}    <————    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)

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