Question

Trens de alta velocidade, chamados trens-bala, deverão estar em funcionamento no Brasil nos próximos anos. Características típicas desses trens são: velocidade máxima de 300 km/h, massa total (incluindo 500 passageiros) de 500 t e potência máxima dos motores elétricos igual a 8 MW. Nesses trens, as máquinas elétricas que atuam como motores também podem ser usadas como geradores, freando o movimento (freios regenerativos). Nas ferrovias, as curvas têm raio de curvatura de, no mínimo, 5 km. Considerando um trem e uma ferrovia com essas características, determine:

a) O tempo necessário para o trem atingir a velocidade de 288 km/h, a partir do repouso, supondo que os motores forneçam a potência máxima o tempo todo.

b) A força máxima na direção horizontal, entre cada roda e o trilho, numa curva horizontal percorrida a 288 km/h, supondo que o trem tenha 80 rodas e que as forças entre cada uma delas e o trilho tenham a mesma intensidade.

c) A aceleração do trem quando, na velocidade de 288 km/h, as máquinas elétricas são acionadas como geradores de 8 MW de potência, freando o movimento.

Answer 1

a1) Para determinarmos o tempo necessário, inicialmente utilizaremos o teorema de energia cinética, não considerando os efeitos de forças dissipativas e levando-se em consideração que o movimento ocorra em linha reta e em superfície plana horizontal. Para tal, teremos:

$t_{motor}$ = $E_{cin} = \frac{m V^{2} }{2}$
$t_{motor} = \frac{500 . 10^{3} }{2} . ( \frac{288}{3,6})$²(J)
$t_{motor} = 2,5. 10^{5} .64. 10^{2} (J)$
$t_{motor} = 16. 10^{8} J$


a2) $Pot_{motor}$ = $t_{motor}$/Δt
8,0.10⁶ = 16.10⁸/Δt
Δt = 2,0.10²s


b) A força horizontal que está sendo colocada nos trilhos desempenhará o papel de de força centrípeta:
$F_{h} = F_{cp} = \frac{m V^{2} }{R}$
$F_{h} = \frac{500. 10^{3 . ( 80)^{2} } }{5,0. 10^{3} } N$
$F_{h} = 64. 10^{4} N$
$F_{h} = 6,4. 10^{5} N$

Esta força total horizontal é aplicada nas 80 rodas e, assim, a força horizontal em cada roda é determinada por:
$F_{1} = \frac{ F_{h} }{80} = \frac{640}{80} . 10^{3}N$

$F_{1} = 8,0. 10^{3}N = 8,0kN$
Observação: Aqui, vamos considerar que todas as rodas estão em curva.


c) Para representar a potência instantânea, temos:
pot = FV
8,0 . 10⁶ = F . 80
F = 1,0 . 10⁵N

No momento T, em que a velocidade é de 80m/s, o trem começa a frear com força de intensidade de F = 1,0 . 10⁵N.
Neste momento T, a aceleração tangencial do trem terá o módulo determinado pela 2ª Lei de Newton:
F = m a 
1,0 . 10⁵ = 500.10³$a_{t}$
$a_{t = 0,20m/ s^{2} }$


Caso o trem esteja, no momento T, desempenhando um trajeto em linha reta, a sua aceleração terá apenas a componente tangencial com módulo $a_{t} = 0,20m/ s^{2}$. Porém, se neste momento T o trem estiver no trecho curvo de raio R = 5,0.10³m, ele terá aceleração com força centrípeta com módulo dado por:

$a_{cp} = \frac{ V^{2} }{R} = \frac{( 80)^{2} }{5,0. 10^{3} } (m/ s^{2} ) = 1,28m/ s^{2}$

Teremos, nestas circunstâncias, uma aceleração vetorial com módulo dado por a² = $a_{t}$² + $a_{cp}$² = 1,68
a= 1,3m/s³

Concluímos que as respostas para as situações acima descritas são:
a) Δt = 2,0.10²s
b) $F_{1} = 8,0. 10^{3} N$
c) $a_{t} = 2,0. 10^{-1} m/ s^{2}$
    $a_{cp} = 1,28m/ s^{2}$
    $a = 1,3m/ s^{2}$