Question

Considere a matriz, calcule valor de det(A^-1) $\left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\6&-1&3\\2&0&1\end{array}\right]$

Answer 1

Para descobrir a matriz inversa da matriz data, seguiremos a seguinte fórmula:
Matriz dada vezes a matriz inversa igual a matriz identidade da matriz inicialmente dada.

$A*A^{-1}=I$

$\left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\6&-1&3\\2&0&1\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

Efetuando a multiplicação de matrizes, obtemos:

$\left[\begin{array}{ccc}2a_1+a_2&2b_1+b_2&2c_1+c_2\\6a_1-a_2+3a_3&6b_1-b_2+3b_3&6c_1-c_2+3c_3\\2a_1+a_3&2b_1+b_3&2c_1+c_3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

Vamos igualar os termos e tentar ir descobrindo as incógnitas:

$2a_1+a_2=1 \to a_2=1-2a_1 \\ \\ 2a_1+a_3=0 \to a_3=-2a_1 \\ \\ 6a_1-a_2+3a_3=0 \\ \\ 6a_1-1+2a_1-6a_1 =0\\ \\ a_1= \displaystyle \frac{1}{2} \\ \\ a_2=0 \\ \\ a_3=-1 \\ \\ -------------- \\ \\ 2b_1+b_2=0 \to b_2=-2b_1 \\ \\ 2b_1+b_3=0 \to b_3=-2b_1 \\ \\ 6b_1-b_2+3b_3=1 \\ \\ 6b_1+2b_1-6b_1=1 \\ \\ b_1= \displaystyle \frac{1}{2} \\ \\ b_2=-1 \\ \\ b_3=-1 \\ \\ -------------- \\ \\ 2c_1+c_2=0 \to c_2=-2c_1 \\ \\ 2c_1+c_3=1 \to c_3=1-2c_1 \\ \\ 6c_1-c_2+3c_3=0 \\ \\ 6c_1+2c_1+3-6c_1=0$

$c_1= \displaystyle -\frac{3}{2} \\ \\ c_2=3 \\ \\ c_3=4$

A matriz inversa da matriz dada é:

$\left[\begin{array}{ccc}1/2&1/2&-3/2\\0&-1&3\\-1&-1&4\end{array}\right]$

E seu determinante é igual a:

$det\left[\begin{array}{ccc}1/2&1/2&-3/2\\0&-1&3\\-1&-1&4\end{array}\right] = \displaystyle -\frac{1}{2}$

Answer 2

A= 
2   1    0
6   -1   3
2    0   1

2   1    0    2   1
6   -1   3    6  -1    det=-2  +6-6 =-2
2    0   1    2   0

Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz produto, temos que:
det (AB) = (det A) * (det B), conforme teorema de Binet.

 A*A⁻¹ = I    ..det(I)=1

det(A*A⁻¹)=det I

det(A) * det(A⁻¹)= 1

det (A⁻¹) =1/det(A) = 1/(-2)=-1/2