Question

Sabendo que uma função quadrática possui uma raiz igual a -2 e que obtém seu valor máximo quando x = 5, determine o valor da outra raiz dessa função.
Alguém consegue resolver? Parece simples mas to com um bloqueio

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Lucas, que a resolução é simples.
Note que uma função quadrática é aquela da forma: f(x) = ax² + bx + c
Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Como a função acima tem uma raiz igual a "-2", então vamos substituir , na função [f(x) = ax² + bx + c] o "x" por "-2" e vamos igualar f(x) a zero, pois toda raiz zera a função da qual ela é raiz. Fazendo isso, ficaremos assim:

0 = a*(-2)² + b*(-2) + c
0 = a*4 + b*(-2) + c
0 = 4a - 2b + c --- ou, invertendo-se, teremos;
4a - 2b + c = 0
c = - 4a + 2b --- ou, "ajeitando" o 2º membro, teremos:
c = 2b - 4a       . (I)

ii) Como o valor máximo dá-se quando x = 5, então veja que o "x" do vértice (xv) de uma função do 2º grau é dado por:

xv = -b/2a ---- substituindo-se "xv" por "5", teremos:
5 = - b/2a ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
5*2a = - b
10a = - b ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
-10a = b --- ou, invertendo-se, ficaremos com:
b = - 10a      . (II)

iii) Agora vamos na expressão (I) e, nela, substituiremos "b" por "-10a", conforme vimos na expressão (II) acima..
A expressão (I) é esta:

c = 2b - 4a ----- substituindo-se "b" por "-10a" como previsto aí em cima, teremos:

c = 2*(-10a) - 4a
c = - 20a - 4a
c = - 24a      . (III)

iii) Agora veja: vamos tomar a equação inicial, que é esta:

f(x) = ax² + bx + c ------ como b = -10a [conforme a expressão (I)] e como c = -24a [conforme a expressão (II)], então vamos fazer essas substituições, com o que ficaremos:

f(x) = ax² + (-10a)x + (-24a) ----- ou apenas:
f(x) = ax² - 10ax - 24a ------ como para x = 5 teremos o valor máximo dessa função, então vamos substituir na expressão acima o "x' por "5". Assim, teremos que:

f(5) = a*5² - 10a*5 - 24*5
f(5) = a*25 - 50a - 120
f(5) = 25a - 50a - 120
f(5) = - 25a - 120      . (IV)

Agora veja: quando substituímos o "x" por "5", como vimos acima, estamos encontrando o "y" correspondente e esse "y" será o "y" do vértice (yv), pois o vértice de uma parábola é dada pelo ponto V(xv; yv). Ora, como para x = 5 teremos o ponto máximo, então f(5) é o valor que nos dará o máximo da função. E como o máximo de uma função é dado pelo "y" do vértice (yv), então veja que o "yv" tem a seguinte fórmula:

yv = - (Δ)/4a ---- como Δ = b²-4ac, então substituindo, teremos:
yv = -(b²-4ac)/4a ---- substituindo-se "b" por "-10a"; substituindo-se "a" por "a" mesmo; e finalmente, substituindo-se "c" por "-24a", teremos:

yv = - ((-10a)² - 4*a*(-24a))/4a
yv = - (100a² + 96a²)/4a
yv = - (196a²)/4a ---- ou apenas:
yv = - 196a²/4a ---- note que esta divisão dá exatamente "-49a". Logo:
yv = - 49a .

Mas note que o "y" do vértice (yv) é igual a f(5). E já vimos, conforme a expressão (IV), que f(5) = -25a - 120, então vamos substituir "yv" por esse valor. Então:

- 25a - 120 = - 49a ----- passando "-49a" para o 1º membro e "-120" para o 2º, iremos ficar da seguinte forma:

-25a + 49a = 120
24a = 120
a = 120/4
a = 30 <---Este é o valor do termo "a".

Agora para encontrarmos os valores dos termos "b" e "c" vamos nas expressões (II) e (III), que são estas:

- pela expressão (II), temos:

b = - 10a ----- substituindo-se "a' por "30", teremos:
b = -10*30
b = - 300 <-- Este será o valor do termo "b".

- pela expressão (III), temos:

c = - 24a  --- substituindo-se "a' por "30", teremos:
c = -24*30
c = - 720 <--- Este é o valor do termo "c".

iv) Assim, como já sabemos que a = 30, que b = - 300 e que c = - 720, então a nossa função será esta

f(x) = 30x² - 300x - 720 ---- mas considerando que a função quadrática da sua questão tem ponto de máximo, então o termo "a" terá que ser, FORÇOSAMENTE, negativo. Logo, basta que multipliquemos a expressão por "-1" e a teremos com o seu termo "a" negativo. Logo, quando a igualarmos a zero para encontrar a outra raiz, então ela ficará assim (após multiplicarmos por "-1"): - 30x² + 300x + 720 = 0.
Agora, basta aplicar Bháskara e encontramos a outra raiz, pois já sabemos que uma delas é igual a "-2". Assim teremos:

0 = - 30x² + 300x + 720 -- ou, invertendo-se;
- 30x² + 300x + 720 = 0 --- para facilitar, dividiremos ambos os membros por "30", com o que ficaremos assim:

- x² + 10x + 24 = 0 ---- se você aplicar Bháskara vai encontrar que uma das raízes é exatamente igual a "-2" e a outra será "12". Assim teremos:

x' = - 2 e x'' = 12 <--- Este é o valor da outra raiz.

E note que nem precisa você aplicar Bháskara quando chegar na equação final, que é: - x² + 10x + 24 = 0

Como a soma das raízes dá igual a "-b/a", então a soma das raízes será, chamando uma de "-2" e a outra de x''. Assim:

-2 + x'' = -(10)/-1
-2 + x'' = -10/-1 -- ou apenas (veja que na divisão menos com menos dá mais):
-2 + x'' = 10
x'' = 10+2
x'' = 12 <--- Olha aí como a resposta é a mesma. Ou seja, olha aí como a 2ª raiz é realmente igual a "12".

Assim, resumindo, temos que o valor da outra raiz é:

12 <--- Esta é a resposta da sua questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.