Question

Resolva a equação cotg 2x = cotg (x + pi/4)

Answer 1

$\displaystyle \cot{2x}=\cot{x+\frac{\pi}{4}}~\Leftrightarrow~\tan{2x}=\tan{x+\frac{\pi}{4}}$

Se $\tan{\alpha}=\tan{\beta}$ então $\alpha$ e $\beta$ são côngruos ou $\alpha$ e $\beta$ são explementares (simétricos em relação ao centro da circunferência), o que pode ser sintetizado da seguinte maneira: 

$\tan{\alpha}=\tan{\beta}~\Longrightarrow~\alpha=\beta+\mathbb{Z}\pi$

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$\displaystyle \tan{2x}=\tan{x+\frac{\pi}{4}}~\Rightarrow~2x=x+\frac{\pi}{4}+\mathbb{Z}\pi~\Leftrightarrow~x=\frac{\pi}{4}+\mathbb{Z}\pi$

Porém, a solução de uma equação trigonométrica deve estar contida no domínio de ambas as funções envolvidas. 

$\displaystyle \tan{2x}=\tan{x+\frac{\pi}{4}}~\Rightarrow~\left( 2x~\wedge~x+\frac{\pi}{4}\right) \neq \frac{\pi}{2}+\mathbb{Z}\pi\\\\\Leftrightarrow~x\neq \frac{\pi}{4}+\frac{\mathbb{Z}\pi}{2}~\wedge~x\neq\frac{\pi}{4}+\mathbb{Z}\pi$

Como x deve satisfazer a condição acima, a equação não possui solução, ou melhor, $\displaystyle\tan{2x}=\tan{x+\frac{\pi}{4}}$ não ocorre, logo, $\displatstyle\cot{2x}=\cot{x+\dfrac{\pi}{4}}$ também não.