Question

Subtraindo-se 24 unidades de um número real positivo, seu logaritmo em base 4 diminui uma unidade.
a) Qual o valor do logaritmo desse número na base 16?

b) Em que base o logaritmo desse número teria aumentado em duas unidades, se tivéssemos subtraído 24 unidades desse número?

Answer 1

Boa tarde

a) 

log4(n - 24) = log4(n) - 1

log4(n - 24) = log4(n) - log4(4) 
log4(n - 24) = log4(n/4) 

n - 24 = n/4 
4n - 96 = n
3n = 96
n = 96/3 = 32

log16(32) = log(32)/log(16) = 5log(2)/4log(2) = 5/4 

b) 

logb(32) = logb(32 - 24) + 2 
logb(32) = logb(8) + 2logb(b) 
log(32) = log(8) + 2log(b)

2log(b) = log(32) - log(8)
2log(b) = log(32/8)
2log(b) = log(4) = 2log(2)

b = 2

Answer 2

a) O valor do logaritmo desse número na base 16 é 1,25.

b) O logaritmo desse número teria aumentado em duas unidades, se tivéssemos subtraído 24 unidades desse número na base 2.

Equação logaritmica

A partir do enunciado escrevemos a seguinte equação logaritmica:

log₄ (x - 24) = log₄ x - 1

Escreveremos esse 1 como log₄4 e aplicaremos a propriedade de subtração de logaritmos:

logₐx - logₐy = logₐ x/y

log₄ (x - 24) = log₄ x - log₄4

log₄ (x - 24) = log₄ x/4

x - 24 = x/4

4x - 96 = x

4x - x = 96

3x = 96

x = 96/3 = 32

Agora calculamos o logaritmo de 32 na base 16

x = log₁₆32

16ˣ = 32

(2⁴)ˣ = 2⁵

2⁴ˣ = 2⁵

4x = 5

x = 5/4 = 1,25

Subtraindo 24 de 32 temos 8. Assim o item b) fica com a seguinte equação logaritmica:

logₙ32 = logₙ 8 + 2

Fazendo 2 = logₙn² e aplicando a propriedade de soma de logaritmos, temos:

logₐx + logₐy = logₐ x · y

logₙ32 = logₙ 8 + logₙn²

logₙ32 = logₙ 8n²

32 = 8n²

n² = 32/8 = 4

n = √4

n = 2

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